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专题4.1 数列（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 观察法求数列通项】 3
【题型2 判断或写出数列中的项】 4
【题型3 根据规律填写数列中的某项】 6
【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 8
【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 10
【题型6 求数列的前n项和】 12
【题型7 递推数列的实际应用】 14
【题型8 数列的单调性的判断与求参】 17
【题型9 数列的最大（小）项】 19
【题型10 数列周期性的应用】 22
知识点1 数列的概念
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,…
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列 3,4,5,6,…,n+2
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列 -1,-2,-3,…,-n
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,…
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点 缺点
通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难
列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难
递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
6．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
=.
7．数列的通项公式的求解方法
(1)由an与Sn的关系求通项：
已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)由数列的递推关系求通项公式：
①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项.
类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【题型1 观察法求数列通项】
【例1】（2026高二上·天津·阶段练习）数列的一个通项公式可以是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【解答过程】因为
所以该数列的一个通项公式可以是
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误.
故选：A.
【变式1-1】（2026高二上·湖北荆州·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解.
【解答过程】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由，，，，
可得的一个通项公式为，故D正确.
故选：D.
【变式1-2】（2026高二上·陕西咸阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】观察奇数项和偶数项的符号以及分子分母的规律即可求解.
【解答过程】由已知得奇数项为正，偶数项为负，每一项的分子为1，分母为项数，
所以.
故选：B.
【变式1-3】（2026高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式.
【解答过程】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.
根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.
分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.
结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.
故选：A.
【题型2 判断或写出数列中的项】
【例2】（2026高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（ ）
A．18 B．20 C．32 D．66
【答案】B
【解题思路】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可.
【解答过程】因为，
所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数，
当或时，，故D错误；
当或时，，故C错误；
当或时，，故B正确；
当时，，故A错误．
故选：B．
【变式2-1】（2026高二上·陕西榆林·期末）已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】逐个选项进行验证即可判断.
【解答过程】时，，时，，时，，故ACD错误；
令，解得，故不是数列中的项.
故选：C.
【变式2-2】（2026高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
【答案】C
【解题思路】令，解出即可得.
【解答过程】令，解得，
所以是这个数列的第项.
故选：C.
【变式2-3】（2026高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据数列的规律及通项可得数列的项.
【解答过程】由已知数列，，，，，…，，…，
即，，，，，…，，…，
则数列的第项为，
第项为，
故选：A.
【题型3 根据规律填写数列中的某项】
【例3】（2026高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A．22 B．26 C．35 D．51
【答案】C
【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解.
【解答过程】解：如图，
称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为，
所以五边形数的第5项为，
故选：C.
【变式3-1】（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
【答案】C
【解题思路】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.
【解答过程】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为，
所以五边形数依次为，即第8个数为92.
故选：C.
【变式3-2】（2026高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22 B．30 C．37 D．46
【答案】B
【解题思路】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得.
【解答过程】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，
则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故选：B.
【变式3-3】（2026高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（ ）

A．1023 B．1024 C．2047 D．2048
【答案】C
【解题思路】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积 ，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积.
【解答过程】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为，
则图形1的面积，图形2的面积，
图形3的面积 ，
图形4的面积 ，
以此类推，
则图形的面积
则第10个图形的面积为．
故选：C.
【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】
【例4】（2026高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】依题意可得，利用累乘法计算可得.
【解答过程】因为，所以，
则，，，，，，
累乘可得，
所以，又，所以，
经检验时也成立，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】首先根据题意得到，再利用累加法求数列的通项公式即可.
【解答过程】，
所以当时，
，，
……，，
所以，
所以.
当时，符合.
所以.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解.
【解答过程】由，，可得，
则，
即，
故选：D.
【变式4-3】（2026高二上·天津·期末）设数列满足，则（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】C
【解题思路】当时求出，当时作差得到，即可得解.
【解答过程】因为，
当时，；
当时，，
所以，则，经检验当时也成立，
所以，则.
故选：C.
【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】
【例5】（2026高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据得到，两式相减得到，求出即可求解.
【解答过程】因为，所以，
两式相减得，
所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C.
【变式5-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值.
【解答过程】由题得，即，
所以，
将上面个式子两端分别相乘，
可得，
即，
所以．
故选：B.
【变式5-2】（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列的前项和为
(1)当取最小值时，求的值；
(2)求出的通项公式.
【答案】(1)或
(2)
【解题思路】（1）直接对进行配方，由及二次函数性质可求出其最小值，
（2）由，求解的通项公式.
【解答过程】（1）因为，
所以，又，
所以或时，取最小值时，最小值为；
（2）因为，
所以，当时，，
所以，
当时，，
所以.
【变式5-3】（2026高二上·全国·课后作业）已知下面数列的前项和，求的通项公式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解题思路】（1）（2）根据的关系即可作差求解，
【解答过程】（1）当时，，
当时，，
当时，，符合上式，
的通项公式是．
（2）当时，，
当时，，
当时，若，则，符合上式；若，则，不符合上式．
当时，的通项公式是；
当时，的通项公式是
【题型6 求数列的前n项和】
【例6】（2026·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解题思路】利用化简可得出，则可求出答案.
【解答过程】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
【变式6-1】（2026高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A．0 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【解题思路】根据数列前项和公式，求出数列通项公式，依次求出前项，再求和.
【解答过程】已知，则当时，，
可得，
当时，，符合公式，则数列通项公式为，
则，
数列的前项和为，
故选：B.
【变式6-2】（2026高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解题思路】利用数列的通项公式依次求得，从而得解.
【解答过程】因为，
所以，
则该数列的前4项和.
故选：A.
【变式6-3】（2026高二上·云南楚雄·期末）已知数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】D
【解题思路】根据题目中的递推公式，分别计算前项的值，可得答案.
【解答过程】由题意得，，，，，
，，，，
所以前10项和为.
故选：D.
【题型7 递推数列的实际应用】
【例7】（2026高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求.
【解答过程】由题意可知，
，
，
，
所以.
故选：C.
【变式7-1】（2026·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．55 B．58 C．60 D．62
【答案】A
【解题思路】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.
【解答过程】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴，
又∵;
;
;
;
;
,
故选：A.
【变式7-2】（2026高二下·四川眉山·阶段练习）数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 ．
【答案】
【解题思路】利用， 化简得出，即可得出结果.
【解答过程】由题意可得：斐波那契数列满足：，，
所以
，
，
所以.
故答案为：.
【变式7-3】（2026高三上·山东日照·阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上 由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则 .
【答案】15
【解题思路】假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出.
【解答过程】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为，
可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为，
然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次，
再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为，
所以，
易知，则，
故答案为：15.
知识点2 数列的性质
1．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1(2)周期性
如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列.
2．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
3．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【题型8 数列的单调性的判断与求参】
【例8】（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得.
【解答过程】数列中，，则，
即，所以数列为递减数列.
故选：B.
【变式8-1】（2026高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据单调性的定义即可列不等式求解.
【解答过程】为单调递增的数列，故，
解得，
故选：C.
【变式8-2】（2026高二上·广东梅州·期末）已知数列满足.
(1)求和；
(2)证明：数列为单调递增数列.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据与的关系可得，即可求解；
（2）利用作商法即可证明.
【解答过程】（1）因为①，
当时，.
当时，②，
由①-②得，所以，
当时，，所以也满足，
当时，，
故，.
（2）由（1）知，，易知，
则，
又对一切恒成立，所以，
即对一切恒成立，
所以数列为单调递增数列.
【变式8-3】（2026高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围；
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案.
（2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得.
【解答过程】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得，
于是，即，两边取对数得，
即，整理得，
因此数列是常数列，即，于是，
所以.
（2）由（1）知，，
由数列为递增数列，得，
即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号，
所以实数k的取值范围是.
【题型9 数列的最大（小）项】
【例9】（2026高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【答案】B
【解题思路】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可.
【解答过程】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故，
令，即，
解得，，故，即第九项最大.
故选：B.
【变式9-1】（2026高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（ ）
A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项
【答案】C
【解题思路】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果.
【解答过程】数列,
当时，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故此时有最大项为；
当时，，，
，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故此时有最小项为，
综上，既有最大项，又有最小项.
故选：C.
【变式9-2】（2026高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列中的最大项和最小项．
【答案】(1)；
(2)最大项为，最小项为.
【解题思路】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式.
（2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项.
【解答过程】（1）数列中，，
当时，，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则数列是单调递增数列，
由，得，即当时，，当时，，
而，因此当时，，且数列单调递减，即；
当时，，且数列单调递减，即，
所以数列中的最大项为，最小项为.
【变式9-3】（2026高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
【答案】(1)
(2)第项
【解题思路】（1）根据求通项即可；
（2）根据得到，然后列不等式求最大项即可.
【解答过程】（1）当时，，不满足上式，
当时，，
故数列的通项公式为.
（2）由已知得，
当时，，
则，即，
得， 即，
所以当，的最大项为第7项，
又，
所以数列的最大项是该数列的第项.
【题型10 数列周期性的应用】
【例10】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解题思路】先求出数列的周期为，可得.
【解答过程】因为，，
所以，，
，，……，
所以数列的周期为，所以.
故选：A.
【变式10-1】（2026高二上·广东茂名·期末）在数列中，中，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据条件得到数列是以为周期的周期数列，即可求解.
【解答过程】因为，
所以，，
而，所以数列是以为周期的周期数列，
所以的前项和，
故选：C．
【变式10-2】（2026高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值.
【解答过程】解：因为且
所以，，
，，
，，
所以数列是周期数列，且周期为4，
所以.
故选：C.
【变式10-3】（2026高三·全国·专题练习）意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（ ）
A．672 B．673 C．1346 D．1347
【答案】D
【解题思路】由题可得是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，据此可得答案.
【解答过程】由数列各项除以2的余数，
可得为，，
所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，
因为，所以数列的前2020项的和为.
故选：D．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.1 数列（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 观察法求数列通项】 3
【题型2 判断或写出数列中的项】 3
【题型3 根据规律填写数列中的某项】 4
【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 5
【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 5
【题型6 求数列的前n项和】 6
【题型7 递推数列的实际应用】 7
【题型8 数列的单调性的判断与求参】 8
【题型9 数列的最大（小）项】 9
【题型10 数列周期性的应用】 10
知识点1 数列的概念
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,…
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列 3,4,5,6,…,n+2
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列 -1,-2,-3,…,-n
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,…
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点 缺点
通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难
列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难
递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
6．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
=.
7．数列的通项公式的求解方法
(1)由an与Sn的关系求通项：
已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)由数列的递推关系求通项公式：
①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项.
类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【题型1 观察法求数列通项】
【例1】（2026高二上·天津·阶段练习）数列的一个通项公式可以是 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2026高二上·湖北荆州·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026高二上·陕西咸阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 判断或写出数列中的项】
【例2】（2026高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（ ）
A．18 B．20 C．32 D．66
【变式2-1】（2026高二上·陕西榆林·期末）已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
【变式2-3】（2026高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 根据规律填写数列中的某项】
【例3】（2026高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A．22 B．26 C．35 D．51
【变式3-1】（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
【变式3-2】（2026高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22 B．30 C．37 D．46
【变式3-3】（2026高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（ ）

A．1023 B．1024 C．2047 D．2048
【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】
【例4】（2026高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2026高二上·天津·期末）设数列满足，则（ ）
A．7 B． C． D．
【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】
【例5】（2026高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列的前项和为
(1)当取最小值时，求的值；
(2)求出的通项公式.
【变式5-3】（2026高二上·全国·课后作业）已知下面数列的前项和，求的通项公式．
(1)；
(2)．
【题型6 求数列的前n项和】
【例6】（2026·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【变式6-1】（2026高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A．0 B．32 C．48 D．64
【变式6-2】（2026高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式6-3】（2026高二上·云南楚雄·期末）已知数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【题型7 递推数列的实际应用】
【例7】（2026高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（ ）
A．18 B． C． D．
【变式7-1】（2026·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．55 B．58 C．60 D．62
【变式7-2】（2026高二下·四川眉山·阶段练习）数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 ．
【变式7-3】（2026高三上·山东日照·阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上 由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则 .
知识点2 数列的性质
1．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1(2)周期性
如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列.
2．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
3．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【题型8 数列的单调性的判断与求参】
【例8】（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
【变式8-1】（2026高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2026高二上·广东梅州·期末）已知数列满足.
(1)求和；
(2)证明：数列为单调递增数列.
【变式8-3】（2026高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围；
【题型9 数列的最大（小）项】
【例9】（2026高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【变式9-1】（2026高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（ ）
A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项
【变式9-2】（2026高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列中的最大项和最小项．
【变式9-3】（2026高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
【题型10 数列周期性的应用】
【例10】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【变式10-1】（2026高二上·广东茂名·期末）在数列中，中，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2026高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2026高三·全国·专题练习）意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（ ）
A．672 B．673 C．1346 D．1347
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