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专题4.3 等差数列的前n项和（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2
【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 3
【题型3 求等差数列的前n项和】 5
【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 7
【题型5 等差数列前n项和的性质】 9
【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 11
【题型7 等差数列前n项和的最值】 12
【题型8 等差数列的简单应用】 15
知识点1 等差数列的前n项和公式
1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式：
=(公式一).
=(公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{an}的前n项和，令，，则.
(1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质
性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，；
若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，，
性质3 {an}为等差数列为等差数列
性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则
4．求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.
【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】
【例1】（2026高二下·云南昆明·期末）等差数列的前项和为，，，则的公差为（）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】A
【解题思路】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差.
【解答过程】为等差数列，
，
，
设的首项为，公差为，则，
解得，
故选：A.
【变式1-1】（2026高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解题思路】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得.
故选：B.
【变式1-2】（2026高二上·福建三明·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差d为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解题思路】根据等差数列的通项公式及前n项和计算求参.
【解答过程】在等差数列中，，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A.
【变式1-3】（2026高二上·甘肃定西·期末）等差数列的前项和为，公差，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据等差数列的前项和公式列方程，即可求解.
【解答过程】由题意得，解得.
故选：D.
【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】
【例2】（2026高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解.
【解答过程】解：当时，；
当时，，
又适合上式，
所以，
故选：A.
【变式2-1】（2026高二下·新疆喀什·阶段练习）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解题思路】根据，可求出，进一步判断选项即可.
【解答过程】因为，
所以时，
，
又时，
,符合上式，
故，所以公差.
故选：
【变式2-2】（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)52
【解题思路】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解；
（2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以；
（2）由（1）知，所以，
.
【变式2-3】（2026高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解；
（2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则，
解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
【题型3 求等差数列的前n项和】
【例3】（2026高二上·江苏宿迁·期末）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．6 B．20 C．25 D．30
【答案】D
【解题思路】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果.
【解答过程】因为，所以，解得，
则.
故选：D.
【变式3-1】（2026高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120
【答案】D
【解题思路】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案.
【解答过程】设的公差为，
因为，，
所以，解得，
则的前10项和为.
故选：D.
【变式3-2】（2026高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)210
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式求解；
（2）明确，， 成等差数列，用等差数列的求和公式求和.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
所以，
所以，则，
所以 .
（2）由等差数列的性质可得：，，，是以为首项，公差为4的等差数列，
所以 .
【变式3-3】（2026高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和．
(1)证明是等差数列；
(2)设为数列的前n项和，若，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解题思路】（1）应用等差数列的前n项和公式求的通项公式，即可证结论；
（2）根据已知求得数列的公差，再求即可.
【解答过程】（1）若的公差为，则，
所以，则，
故，
即是首项为，公差为的等差数列，得证；
（2）由题设，则数列的公差，
所以，则.
【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】
【例4】（2026高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）
A．281 B．651 C．701 D．791
【答案】C
【解题思路】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出.
【解答过程】等差数列中,由,得公差,
则,
显然当时,,当时,,
所以
故选：C.
【变式4-1】（2026高二上·天津·阶段练习）在数列中，，则等于（ ）
A．445 B．765 C．1080 D．3105
【答案】B
【解题思路】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果.
【解答过程】依题意由可得为定值，
因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
即可得，所以当时，，当时，，
所以
.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【解题思路】（1）根据条件得到，得到；
（2）设，的前项和为，求出，当时，；当时，，从而得到答案.
【解答过程】（1），故，
又，故，
所以；
（2）其中，
设，的前项和为，其中，
故
当时，，故；
当时，，
故，
综上，.
【变式4-3】（2026高二上·全国·单元测试）已知数列中，，记．
(1)求证：数列是等差数列，并求出；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解题思路】(1)由等式两边同取倒数可得，根据等差数列定义证明结论；
(2) 分析数列的各项的正负，分，化简，结合等差数列求和公式求结论.
【解答过程】（1）由，得，即，
又，所以为常数，
又，所以，
所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，．
（2）由（1）知，，
当时，，所以 ；
当时，，所以 ，
得到．
综上，.
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【解答过程】在等差数列中，成等差数列，
则，
设，则，
故，解得，
所以.
故选：A.
【变式5-1】（2026高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ）
A．42 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【解题思路】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解.
【解答过程】为等差数列，所以也为等差数列，
因为，
所以，
所以.
故选：.
【变式5-2】（2026高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果.
【解答过程】，数列是以为公差的等差数列，
，
数列是以为公差的等差数列，.
故选：B.
【变式5-3】（2026高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【解答过程】等差数列，的前项和分别为，，由，得，
.
故选：C.
【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【例6】（2026高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．11 D．7
【答案】B
【解题思路】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解.
【解答过程】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得，
∴，即,
所以n的最大值为13，
故选：B.
【变式6-1】（2026高二上·江苏·阶段练习）等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据等差数列前项和公式写出，从函数角度，分析图象的开口及与坐标轴的交点坐标来确定最终图象.
【解答过程】由等差数列前项和公式得，，
因为，，所以，函数的图象开口向上，排除C，D.
令，得或，排除B，故选A.
故选：A.
【变式6-2】（2026高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】A
【解题思路】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可.
【解答过程】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列，
所以，
关于的二次函数，开口向下，对称轴，
所以当时，最大，即数列的前项和最大，
故选：.
【变式6-3】（2026高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.
【解答过程】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，得，解得，
所以正整数k为2023．
故选：D.
【题型7 等差数列前n项和的最值】
【例7】（2026高二上·陕西西安·阶段练习）记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】B
【解题思路】利用等差数列前项和公式与等差数列的下标和性质，得到等差数列中的项的正负情况，从而得解.
【解答过程】因为等差数列的前项和为，设等差数列为，
由，得，则，
由，得，则，
所以，故，
则数列的前项为负数，从第项开始的项都是正数，
因此当时，最小.
故选：B.
【变式7-1】（2026高二上·福建三明·阶段练习）数列的前项和为，则（ ）
A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30
C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30
【答案】B
【解题思路】根据与的关系，可得，可知为等差数列，根据其单调性可解.
【解答过程】根据题意，，
当时，，
两式相减得：，
即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列，
则，所以，
可知存在最大值，为.
故选：B.
【变式7-2】（2026高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
【解题思路】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解；
（2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解.
【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，
所以，解得，，
所以，即的通项公式为.
（2）由（1），，所以，
又，所以数列是递增数列，
由知，，
所以的最小值为.
【变式7-3】（2026高二上·河南新乡·阶段练习）数列满足，，，数列满足，．
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．
(2)数列的前项和为，问是否存在最小值 若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在最小值，最小值为－9，此时
【解题思路】（1）因为数列满足，所以对数列两边同时，得到，再代入数列中，即可证明结论并求出通项公式.
（2）利用等差数列的前项和公式求出，再利用数列的函数性质即可求得的最小值及取得最小值时的值.
【解答过程】（1）证明：因为，所以．
因为，所以，
所以．因为，所以，
所以数列是首项，公差的等差数列．
所以．
（2）解：根据等差数列的前项和公式，得．
对于二次函数，其图象的对称轴为直线，
所以当时，取得最小值．因为，
所以存在最小值，最小值为－9，此时．
【题型8 等差数列的简单应用】
【例8】（2026·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得.
【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，
则，，
所以这根竹子的装米量为（升）.
故选：B.
【变式8-1】（2026高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（ ）
A．27 B．31 C．35 D．39
【答案】C
【解题思路】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可.
【解答过程】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，
则，解得，
所以该问题中老人长子的岁数为35.
故选：C.
【变式8-2】（2026高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解题思路】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可.
【解答过程】设出每一秒钟的路程为数列，
由题意可知为等差数列，
则数列首项，公差，
所以，
由求和公式有，解得，
故选：C．
【变式8-3】（2026高二下·福建泉州·期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（ ）
A． B．此人第三天行走了一百三十里
C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里
【答案】B
【解题思路】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项.
【解答过程】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，
由题意可得，解得，A结论正确；
，B结论错误；
，C结论正确；
，D结论正确.
故选：B.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.3 等差数列的前n项和（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2
【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 3
【题型3 求等差数列的前n项和】 3
【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 4
【题型5 等差数列前n项和的性质】 5
【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 5
【题型7 等差数列前n项和的最值】 6
【题型8 等差数列的简单应用】 7
知识点1 等差数列的前n项和公式
1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式：
=(公式一).
=(公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{an}的前n项和，令，，则.
(1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质
性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，；
若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，，
性质3 {an}为等差数列为等差数列
性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则
4．求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.
【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】
【例1】（2026高二下·云南昆明·期末）等差数列的前项和为，，，则的公差为（）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【变式1-1】（2026高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1-2】（2026高二上·福建三明·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差d为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式1-3】（2026高二上·甘肃定西·期末）等差数列的前项和为，公差，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】
【例2】（2026高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026高二下·新疆喀什·阶段练习）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-2】（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【变式2-3】（2026高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【题型3 求等差数列的前n项和】
【例3】（2026高二上·江苏宿迁·期末）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．6 B．20 C．25 D．30
【变式3-1】（2026高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120
【变式3-2】（2026高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)求的值.
【变式3-3】（2026高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和．
(1)证明是等差数列；
(2)设为数列的前n项和，若，求．
【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】
【例4】（2026高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）
A．281 B．651 C．701 D．791
【变式4-1】（2026高二上·天津·阶段练习）在数列中，，则等于（ ）
A．445 B．765 C．1080 D．3105
【变式4-2】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式4-3】（2026高二上·全国·单元测试）已知数列中，，记．
(1)求证：数列是等差数列，并求出；
(2)设，求．
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ）
A．42 B．48 C．60 D．72
【变式5-2】（2026高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2026高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【例6】（2026高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．11 D．7
【变式6-1】（2026高二上·江苏·阶段练习）等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2026高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【变式6-3】（2026高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【题型7 等差数列前n项和的最值】
【例7】（2026高二上·陕西西安·阶段练习）记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【变式7-1】（2026高二上·福建三明·阶段练习）数列的前项和为，则（ ）
A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30
C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30
【变式7-2】（2026高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【变式7-3】（2026高二上·河南新乡·阶段练习）数列满足，，，数列满足，．
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．
(2)数列的前项和为，问是否存在最小值 若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由．
【题型8 等差数列的简单应用】
【例8】（2026·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【变式8-1】（2026高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（ ）
A．27 B．31 C．35 D．39
【变式8-2】（2026高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式8-3】（2026高二下·福建泉州·期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（ ）
A． B．此人第三天行走了一百三十里
C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里
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