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专题4.4 等比数列的概念与通项公式（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 等比中项】 1
【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 3
【题型3 等比数列的通项公式】 4
【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 6
【题型5 等比数列的判定与证明】 7
【题型6 等比数列性质的应用】 11
【题型7 等比数列的单调性】 12
【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 15
【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 17
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
文字
语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号
语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比
递推
关系 或
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=.
【题型1 等比中项】
【例1】（2026高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（ ）
A．6 B． C． D．6.5
【答案】C
【解题思路】根据等比中项的概念计算即可.
【解答过程】设4与9的等比中项为，则，所以或.
故选：C.
【变式1-1】（2026高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】C
【解题思路】直接由等比中项的性质计算即可.
【解答过程】与的等比中项，即48与12的等比中项，
则与的等比中项为 ．
故选：C．
【变式1-2】（2026·河南·一模）若、、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据等比中项的概念可得结果．
【解答过程】因为、、、成等比数列，根据等比中项的概念可得，．
故选：C.
【变式1-3】（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知实数，，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断.
【解答过程】因为实数，，，，成等比数列，
由等比数列的性质可得，解得，或，
又因为，即，可得，
所以.
故选：A.
知识点2 等比数列的通项公式
1．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0).
2．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】
【例2】（2026高二上·浙江金华·期末）在等比数列中，，则公比 （ ）
A． B． C．3 D．13
【答案】C
【解题思路】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出.
【解答过程】，
∴，
故选：C.
【变式2-1】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由等比数列通项公式即可求解.
【解答过程】由题意得，由，得.
故选：B.
【变式2-2】（2026高二上·河北石家庄·期末）若等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解题思路】利用题中条件列方程计算公比即可.
【解答过程】因为等比数列满足，，
两式相减，得，
又
所以.
故选：B.
【变式2-3】（2026高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解题思路】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解.
【解答过程】设递增的等比数列的首项为，公比为，
由前3项的和为13，得，
由前3项的积为27，得，即，则，
代入，得，
即，解得或，
因为为递增的等比数列，所以，则.
故选：A.
【题型3 等比数列的通项公式】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式.
【解答过程】因为，所以，即，
则数列是等比数列，公比为．
又因为，所以或（舍去），
则数列的通项公式为．
故选：A.
【变式3-1】（2026·江西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式.
【解答过程】设等比数列的公比为，则，则，即，解得，
因为、、成等差数列，即，可得，解得，
因此，.
故选：D.
【变式3-2】（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足．
(1)求，值；
(2)证明数列为等比数列并求其通项公式．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，.
【解题思路】（1）根据给定的递推公式，取求解.
（2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项.
【解答过程】（1）数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，
所以，.
（2）当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，而，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.
【变式3-3】（2026高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值.
【答案】(1)；
(2)
【解题思路】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式.
（2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为q，
则由题 ，
故数列的通项公式为.
（2）令有，
当时有：
①，
②，
由①②得，
，
又满足上式，，
，
时，，时，
的最大项为
【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】
【例4】（2026高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出.
【解答过程】设等比数列公比为，，而，，则，解得，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（2026高二上·广东·期末）等比数列中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.
【解答过程】依题意，等比数列的公比，则，解得，
因此，所以.
故选：B.
【变式4-2】（2026高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，求出等比数列公比的平方，再结合项间关系求出.
【解答过程】由，得，则，
设等比数列公比为，则，解得，
所以.
故选：D.
【变式4-3】（2026高二上·云南·阶段练习）在等比数列中，，则等于（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解题思路】根据题设知和为方程的两个根，即可求得或，结合等比数列通项公式求目标式的值.
【解答过程】因为是等比数列，所以，又，
所以和为方程的两个根，解得或.
若等比数列的公比为，则，所以或.
故选：A.
【题型5 等比数列的判定与证明】
【例5】（2026高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解题思路】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，.
【解答过程】对于，不妨取，则数列、都是等比数列，
但对任意的，，故数列不是等比数列；
对于，不妨取，则数列、都是等比数列，
但当时，，故数列不是等比数列；
设等比数列、的公比分别为，其中，
对任意的，，
对于，，即数列为等比数列；
对于，，故为等比数列，
故，一定是等比数列.
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·河南·阶段练习）设数列满足，且，则（ ）
A．{}为等比数列 B．{}为等比数列
C．{}为等比数列 D．{}为等比数列
【答案】A
【解题思路】由，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解.
【解答过程】由，可得，所以，
又由，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
故选：A.
【变式5-2】（2026高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列，并求.
【答案】(1)
(2)证明见详解；
【解题思路】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值.
（2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出.
【解答过程】（1）当时，，
当时，，
（2）∵，
∴得到，∴，
又满足上式，∴，
则代入①得：，
则
∴，且，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴，
∴.
【变式5-3】（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【解题思路】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论.
【解答过程】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足，
故，
由于，故，故，
故数列是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得，故，
故，
故
，
由于，故.
知识点3 等比数列的性质
1．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点.
2．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).
3．等比数列的性质
设{an}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则.
(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为.
(5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
(6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
4．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【题型6 等比数列性质的应用】
【例6】（2026高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C．14 D．15
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解.
【解答过程】正项等比数列中，，解得，
因此，
所以.
故选：D.
【变式6-1】（2026高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解题思路】根据等比数列项的性质计算求解即可.
【解答过程】因为等比数列中，若，则.
故选：C.
【变式6-2】（2026高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【答案】A
【解题思路】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.
【解答过程】因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A.
【变式6-3】（2026高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
【答案】B
【解题思路】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解．
【解答过程】由是等比数列可得，
因为，所以可得，
所以
故，
故选：B.
【题型7 等比数列的单调性】
【例7】（2026高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解.
【解答过程】因为正项数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以数列为递增数列，满足充分性；
当数列为递增数列时，，满足必要性，
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
故选：C.
【变式7-1】（2026高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案.
【解答过程】若等比数列满足“”，
比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立，
若数列为递减数列， ，或，.
则①“，”可以推出;
②“，”也可以推出，则必要性成立；
则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
【答案】C
【解题思路】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故.
【解答过程】A选项，由题意可知，，
且公比，故为递增数列，A正确；
B选项，，，
则为递增数列，故B正确；
C选项，当时，取得最小值，故C错误；
D选项，，
当时，，
当时，，
故，故D正确．
故选：C．
【变式7-3】（2026高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不是递增数列，，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)答案见解析
【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解；
（2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解；
（3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解.
【解答过程】（1）设的公比为，则，
若，则．若，则．
所以的公比为，，4，
所以的通项公式为：，，．
（2）若是递增数列，则，则有，，
等价于，恒成立，令，即．
而．
时，，时，，时，，
，，，
实数的取值范围为．
（3）若不是单调数列，则，或．
（i）当时，，
①当为偶数时，；②当为奇数时，．
所以此时的最小值为．
（ii）当时，．
①当为偶数时，，且为递增数列，；
②当为奇数时，，不可能为最小值．
所以此时的最小值为．
【题型8 求等比数列中的最大（小）项】
【例8】（2026·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【答案】D
【解题思路】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【解答过程】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：D.
【变式8-1】（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解题思路】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【解答过程】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
【变式8-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ．
【答案】6
【解题思路】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解
【解答过程】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6.
【变式8-3】（2026高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 .
【答案】6或7
【解题思路】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解.
【解答过程】由题意可知，，数列单调递减，若最大时，
即，解得：，
所以或7.
故答案为：或.
【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】
【例9】（2026高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 .
【答案】
【解题思路】由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解.
【解答过程】因为等比数列满足，所以，
又，解得，故，，所以.
故答案为：.
【变式9-1】（2026高二下·贵州贵阳·阶段练习）数列的首项为，且，，则 ．
【答案】
【解题思路】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.
【解答过程】因为，所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
因为，所以数列为等差数列，
故．
故答案为：.
【变式9-2】（2026高三·全国·专题练习）在数列中：
(1)若为等差数列，且，求．
(2)若为正项等比数列，且，求的值．
【答案】(1)440
(2)205
【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案；
（2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案.
【解答过程】（1）由等差数列求和公式知．
（2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而
．
【变式9-3】（2026高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知.
(1)试写出，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) ；
(2)
【解题思路】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式；
（2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可．
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式
（2）由（1）可知，则
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.4 等比数列的概念与通项公式（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 等比中项】 1
【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 2
【题型3 等比数列的通项公式】 2
【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 3
【题型5 等比数列的判定与证明】 4
【题型6 等比数列性质的应用】 5
【题型7 等比数列的单调性】 6
【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 6
【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 7
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
文字
语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号
语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比
递推
关系 或
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=.
【题型1 等比中项】
【例1】（2026高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（ ）
A．6 B． C． D．6.5
【变式1-1】（2026高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（ ）
A．24 B． C． D．
【变式1-2】（2026·河南·一模）若、、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知实数，，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
知识点2 等比数列的通项公式
1．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0).
2．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】
【例2】（2026高二上·浙江金华·期末）在等比数列中，，则公比 （ ）
A． B． C．3 D．13
【变式2-1】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026高二上·河北石家庄·期末）若等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2-3】（2026高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【题型3 等比数列的通项公式】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026·江西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足．
(1)求，值；
(2)证明数列为等比数列并求其通项公式．
【变式3-3】（2026高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值.
【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】
【例4】（2026高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式4-1】（2026高二上·广东·期末）等比数列中，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．32 D．64
【变式4-3】（2026高二上·云南·阶段练习）在等比数列中，，则等于（ ）
A．或 B． C． D．或
【题型5 等比数列的判定与证明】
【例5】（2026高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2026高二上·河南·阶段练习）设数列满足，且，则（ ）
A．{}为等比数列 B．{}为等比数列
C．{}为等比数列 D．{}为等比数列
【变式5-2】（2026高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列，并求.
【变式5-3】（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.
知识点3 等比数列的性质
1．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点.
2．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).
3．等比数列的性质
设{an}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则.
(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为.
(5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
(6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
4．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【题型6 等比数列性质的应用】
【例6】（2026高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C．14 D．15
【变式6-1】（2026高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式6-2】（2026高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【变式6-3】（2026高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
【题型7 等比数列的单调性】
【例7】（2026高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-1】（2026高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
【变式7-3】（2026高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不是递增数列，，求的最小值．
【题型8 求等比数列中的最大（小）项】
【例8】（2026·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【变式8-1】（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式8-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ．
【变式8-3】（2026高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 .
【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】
【例9】（2026高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 .
【变式9-1】（2026高二下·贵州贵阳·阶段练习）数列的首项为，且，，则 ．
【变式9-2】（2026高三·全国·专题练习）在数列中：
(1)若为等差数列，且，求．
(2)若为正项等比数列，且，求的值．
【变式9-3】（2026高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知.
(1)试写出，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
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