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专题4.6 数列的求和（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1
【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 3
【题型3 错位相减法求和】 6
【题型4 裂项相消法求和】 9
【题型5 倒序相加法求和】 11
【题型6 分组（并项）法求和】 14
【题型7 放缩裂项求和】 16
【题型8 数列新定义中的求和问题】 21
知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式
1．等差数列、等比数列的求和公式
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
(1)等差数列的前n项和公式：.
(2)等比数列的前n项和公式：=.
【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】
【例1】（2026高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．110 B．130 C．290 D．190
【答案】C
【解题思路】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可.
【解答过程】因为，所以，即，
所以，则，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则.
故选：C.
【变式1-1】（2026高二上·河南漯河·期末）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
【答案】D
【解题思路】根据等差数列的项的性质，再结合等差数列的求和公式计算.
【解答过程】因为数列为等差数列，且，
所以，所以，
则.
故选：D.
【变式1-2】（2026高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和．
(1)证明是等差数列；
(2)设为数列的前n项和，若，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解题思路】（1）应用等差数列的前n项和公式求的通项公式，即可证结论；
（2）根据已知求得数列的公差，再求即可.
【解答过程】（1）若的公差为，则，
所以，则，
故，
即是首项为，公差为的等差数列，得证；
（2）由题设，则数列的公差，
所以，则.
【变式1-3】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，．
(1)求及；
(2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出；
（2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值.
【解答过程】（1）因为数列为等差数列，不妨设，
由可得，故，解得，
所以，
对任意的，，则，即，即，
所以，解得，故，，
所以，合乎题意，
综上所述，，.
（2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，
这个等差数列、、、，则，，
所以，
当时，，故数列为等差数列，
所以.
【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】
【例2】（2026高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．1022 B．1023 C．1024 D．1025
【答案】B
【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求；
【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得
则
故选：B.
【变式2-1】（2026·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
【答案】A
【解题思路】首先根据已知条件求出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出.
【解答过程】根据题意，已知，且各项均为整数，
得到，
解得．则．
故．
故选：A．
【变式2-2】（2026高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由题意得
所以，解得（舍去），
所以．
（2）由于，则．
【变式2-3】（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)7
【解题思路】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解；
（2）根据等比数列求和公式列方程求解即可.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，，
由，得，
整理得，
即.
又，则，解得或.
由题知，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由题知，
令，得，
故.
知识点2 数列求和的几种常用方法
1．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
2．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
4．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
5．常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【题型3 错位相减法求和】
【例3】（2026高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可.
【解答过程】由可得，
累乘可得，
即，所以，也符合该式，故.
所以，①
，②
①②可得，
因此，.
故选：D.
【变式3-1】（2026高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.
【解答过程】令数列的前n项和为，因为，
则，
则有
两式相减得：，
因此，有，
所以数列的前100项之和为.
故选：B.
【变式3-2】（2026高二下·河南南阳·期末）已知是数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由已知等式成变形后，利用和的关系结合等差数列的性质可得；
（2）由错位相减法求和可得.
【解答过程】（1）因为，所以，①
当时，，②
①－②得：
所以，
所以，
所以.
因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
两式相减得 ，
所以.
【变式3-3】（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求；
（2）由错位相减法求和.
【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得（），
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；
对于数列，当时，，解得，
时，，
与原式作差可得，因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
两式作差可得，
所以．
【题型4 裂项相消法求和】
【例4】（2026高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解.
【解答过程】因为①，
当时，②，
由①②得到，得到，
又时，，满足，所以，则，
所以，
则数列的前项和为，
故选：D.
【变式4-1】（2026高二上·全国·单元测试）等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（ ）
A．200 B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据已知可得、，进而写出数列通项公式，则数列是首项、公差为1的等差数列，应用等差数列前n项和求，最后用裂项相消法求.
【解答过程】设等比数列的公比为，则，则 ，
所以，所以．
因为，所以，所以，
所以 ，所以，，
即数列是首项、公差均为1的等差数列，
所以 ，
所以，
因此 ，
所以.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由结合平方差公式化简可得，再根据等差数列的定义和通项公式求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【解答过程】（1）由可得，
所以，
因为是正项数列，，所以，即，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
【变式4-3】（2026高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2).
【解题思路】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得.
【解答过程】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故，
即，
整理得：，又，故可得；
又，即，故，，
解得，，；
故，.
（2）由（1）可知，，故，
故
.
故数列的前项和 .
【题型5 倒序相加法求和】
【例5】（2026高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可.
【解答过程】由题意得，设，
，
设，
倒序得，
两式相加得到，解得，故只有A正确.
故选：A.
【变式5-1】（2026高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用倒序相加法，可得答案.
【解答过程】 ，，
故选：B.
【变式5-2】（2026高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【解答过程】（1）当时，；
当时，①，
②，
①－②得：，
∴，当时，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
【变式5-3】（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【答案】(1)
(2)1012
【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
【题型6 分组（并项）法求和】
【例6】（2026高二上·全国·单元测试）已知数列满足，前项和为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求．
【解答过程】由，，得，所以 ，则有，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
故选：D.
【变式6-1】（2026高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和.
【解答过程】设等差数列公差为，由，得，则，
所以，，
则数列的前n项和为
.
故选：D.
【变式6-2】（2026高三上·山东潍坊·开学考试）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【解题思路】（1）将条件变形为，结合等比数列的定义即可证明，求出数列的首项，利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）由于，利用分组求和即可求解.
【解答过程】（1）因为，所以.
由可知，，则，
所以数列是等比数列，其公比为4，首项为，
则，
所以的通项公式为.
（2）由于，
所以，
则，
即的前项和.
【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式；
（2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果.
【解答过程】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列，
所以.
设数列的公比为，则，
解得，或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
因为，所以，
设数列的前项和为，
则
，
即数列的前项和.
【题型7 放缩裂项求和】
【例7】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式；
（2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和.
【解答过程】（1），①
当时，，②
①-②，得，
两边同时除以，得.
当时，.
，
，解得，
此时，也满足，
数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，即.
（2）证明：当时，，
当时，，
，
【变式7-1】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
(3)若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明.
（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和.
（3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证.
【解答过程】（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，即，
而，解得，则，
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，，
则，，
因此，
所以.
（3）由（2）得，
由，
得，即，
因此，
所以.
【变式7-2】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可；
（2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和；
（3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论.
【解答过程】（1）由题可得，，所以，
又，则，则，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，所以，
所以.
（3）由（2），则，
所以．
令，则，
的前项和为；
令，则，
的前项和为，
所以，
因为，所以，当时等号成立，
而，所以.
【变式7-3】（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：；
(3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解题思路】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式．
（2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式．
（3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围．
【解答过程】（1）因为，所以①，
当时，②，
则得，，
整理得，
又数列为正项数列，即，
所以，即，即公差；
当时，有，又，则，解得.
综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为.
（2）证明：由（1）可知，则，
所以，
综上，.
（3）由（1）可知，令，
则，
所以
，
所以，即在上递减，
所以，
所以，即，解得.
综上，实数的取值范围为.
【题型8 数列新定义中的求和问题】
【例8】（2026高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.
【解答过程】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，由，故，即（负值舍去），
故，故，
则
，
故.
故选：A.
【变式8-1】（2026·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出数列前2023项和.
【解答过程】当时，由于，此时，
当时，由于，此时，
所以数列的前2023项的和为
.
故选：B.
【变式8-2】（2026高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明：.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①；②证明见解析
【解题思路】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断；
（2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论.
【解答过程】（1）因为，所以，
令，则，
所以，即为等差数列，
所以为二阶等差数列.
（2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为，
所以，即，
所以，
，
，
……
，
将以上个式子左、右分别相加，得，
所以，
又，满足上式，
所以.
②证明：由（1）得，
所以.
因为，所以为递增数列，
所以；
又，
所以
.
因为，所以，
又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即
所以.
【变式8-3】（2026高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列的前n项和为，证明：．
(3)若对恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)
【解题思路】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式；
（2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论.
（3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解；
【解答过程】（1）因为，所以，
所以是公差为1的等差数列，所以.
因为，所以，所以，即.
因为，
所以.
因为，所以.
因为，
所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）因为，所以，则，
所以，
故.
（3）由（1），
可化成：
即对恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以中最大项为，
所以.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.6 数列的求和（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1
【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 2
【题型3 错位相减法求和】 4
【题型4 裂项相消法求和】 4
【题型5 倒序相加法求和】 5
【题型6 分组（并项）法求和】 6
【题型7 放缩裂项求和】 7
【题型8 数列新定义中的求和问题】 8
知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式
1．等差数列、等比数列的求和公式
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
(1)等差数列的前n项和公式：.
(2)等比数列的前n项和公式：=.
【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】
【例1】（2026高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．110 B．130 C．290 D．190
【变式1-1】（2026高二上·河南漯河·期末）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
【变式1-2】（2026高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和．
(1)证明是等差数列；
(2)设为数列的前n项和，若，求．
【变式1-3】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，．
(1)求及；
(2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值．
【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】
【例2】（2026高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．1022 B．1023 C．1024 D．1025
【变式2-1】（2026·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
【变式2-2】（2026高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【变式2-3】（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
知识点2 数列求和的几种常用方法
1．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
2．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
4．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
5．常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【题型3 错位相减法求和】
【例3】（2026高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2026高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026高二下·河南南阳·期末）已知是数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式3-3】（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【题型4 裂项相消法求和】
【例4】（2026高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2026高二上·全国·单元测试）等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（ ）
A．200 B． C． D．
【变式4-2】（2026高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【变式4-3】（2026高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【题型5 倒序相加法求和】
【例5】（2026高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【变式5-3】（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【题型6 分组（并项）法求和】
【例6】（2026高二上·全国·单元测试）已知数列满足，前项和为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2026高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2026高三上·山东潍坊·开学考试）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和．
【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【题型7 放缩裂项求和】
【例7】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
【变式7-1】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
(3)若，数列的前n项和为，求证：．
【变式7-2】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
【变式7-3】（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：；
(3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围．
【题型8 数列新定义中的求和问题】
【例8】（2026高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2026·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2026高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明：.
【变式8-3】（2026高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列的前n项和为，证明：．
(3)若对恒成立，求λ的取值范围．
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