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专题4.7 数学归纳法（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 3
【题型3 用数学归纳法证明不等式】 6
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 8
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 10
【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 12
【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 15
知识点1 数学归纳法
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
数学归纳法的重要结论
适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题
【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【例1】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
【答案】B
【解题思路】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数.
【解答过程】当时，不等式左边为，
当时，不等式左边为，
故增加的项数为：.
故选：B.
【变式1-1】（2026高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【解题思路】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．
【解答过程】因为，
所以，共项，
则共项，
所以比共增加了项，
故选：D.
【变式1-2】（2026高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答过程】当时，左边的代数式为，
当时，左边的代数式为，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：
故选：D．
【变式1-3】（2026高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时， ，
所以当时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．验证不正确
C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确
【答案】D
【解题思路】根据数学归纳法的概念进行判断即可.
【解答过程】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.
故选：D.
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【例2】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立；
（2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立.
【解答过程】（1）证明：记，
当时，则有，等式成立，
假设当，等式成立，即，
则，
这说明当时，等式成立，
故对任意的，.
（2）证明：设，
当时，，等式成立，
假设当时，等式成立，
即，
所以，
，
这说明当时，等式成立，
所以，对任意的，.
【变式2-1】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数．
【答案】证明见解析
【解题思路】应用数学归纳法证明即可.
【解答过程】当时，左边右边；
假设时，原等式成立，
则时，
等式左边，因此时原等式也成立．
综上，都有．
【变式2-2】（2026高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）．
【答案】证明见解析
【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.
【解答过程】当时，左侧，右侧，显然成立，
假设时，，
当时，
，
即当时，等式也成立，
综上可得，．
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；
【解答过程】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
（2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，．
【答案】证明见解析
【解题思路】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明.
【解答过程】当时，左边，
右边，命题成立；
假设时，命题成立，即，
则当时，
，
所以时命题成立，
综上，．
【变式3-1】（2026高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：.
【答案】证明见解析
【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可.
【解答过程】①当时，左边，左边右边，不等式成立；
②假设时不等式成立，即，
则当时，左边
，
即当时，不等式也成立.
由①②可知，原不等式成立.
【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）当且时，求证：．
【答案】证明见解析
【解题思路】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成
立，从而得出结论.
【解答过程】①当时，左边 ，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，
即，
则当时，
左边
．
由①②知对任意且不等式成立．
【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：．
【答案】证明见解析
【解题思路】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立．
【解答过程】（i）当时，左边，右边 ，显然，左边右边，原不等式成立；
（ii）假设当时不等式成立，
即，
那么当时，
．
又 ，
所以 ，
即时，不等式也成立．
由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立．
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【例4】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和．
【答案】证明见解析
【解题思路】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立.
【解答过程】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立；
假设当时，结论成立，即，
假设凸边形，如下图所示：
则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，
所以，，
这说明当时，结论成立，
故凸边形的内角和.
【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【解题思路】用不完全归纳法猜想出结论，然后利用数学归纳法证明.
【解答过程】设这些圆将平面分成的区域数为，
，，，，
猜想.
数学归纳法证明如下：
（1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立；
（2）假设当 （）时，结论成立，
即 个圆将平面分为的区域数为：.
考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交，
由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异.
因此，第 个圆上共有 个交点，
这 个交点将第 个圆分为 段弧（因为 个互异点将圆分为 段弧），
每段弧穿过一个已有的区域，并将该区域分割成两个新区域，因此每段弧增加一个新区域，
所以添加第 个圆增加的区域数为 .
于是区域总数：，
代入归纳假设：，
故当时，结论也 成立.
由（1）（2）知对任意正整数 ， 个圆（任意两圆相交于两点，任意三圆不共点）将平面分为的区域数为：.
【变式4-2】（2026高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数．
【答案】证明见解析.
【解题思路】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可.
【解答过程】(1)当时，两条直线的交点只有一个，
又，
所以当时，命题成立.
(2)假设当时, 命题成立，
即平面内满足题设的任何条直线的交点个数，
当时，
任取一条直线，除以外其他条直线的交点个数为，
与其他条直线交点个数为，
从而条直线共有个交点，
即，
所以当时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意命题都成立.
【变式4-3】（2026高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析.
【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可
【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，
n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【例5】（2026高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除．
【答案】证明见解析
【解题思路】按照数学归纳法的步骤证明即可.
【解答过程】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立；
（ii）假设当时命题成立，即能被64整除，
则当时，能被64整除，
故当时命题成立．
由（i）（ii）可知对，都能被64整除．
【变式5-1】（2026高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解.
【解答过程】（1）时，，能被整除，
（2）假设时，能被36整除，
当时，，
，
因为是偶数，所以能被整除，
又因为能被整除，所以能被整除，
由（1）（2）知，对一切，能被整除．
【变式5-2】（2026高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立．
【解答过程】（1）当时， 能被64整除，命题成立．
（2）假设当时，能够被64整除．
当时，，
能够被64整除，
能够被64整除．
即当时，命题也成立．
由（1）（2）可知，能被64整除，
即是64的倍数．
【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立.
【解答过程】用数学归纳法证明：
①当时，
，能被3整除．
②假设当时，能被3整除．
当时，
,
由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除,
因此，当时，也能被3整除．
综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除．
【题型6 用数学归纳法证明数列问题】
【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，．
(1)求，，的值，并推测的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项；
（2）用数学归纳法证明.
【解答过程】（1）因为，所以，解得．
这时，，所以，解得．
这时，，所以，解得．
由，，，猜想时，，
所以推测数列的通项公式是.
（2）用数学归纳法证明：
（i）当时结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即，
这时
，
所以.
当时，由得，
得，所以，即时结论成立.
由（i），（ii）可知对时结论都成立.
【变式6-1】（2026高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．
(1)求及；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)，．
(2)，证明见解析
【解题思路】（1）由条件得到，即可逐个计算；
（2）；由数学归纳法求证步骤求证即可；
【解答过程】（1）由已知条件得，
所以
，，可得：，
，，可得：，
，，可得：；
（2）由（1）的计算可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知可得结论成立；
②假设当且时猜想成立，
即．
则当时，
，
，
因此当时，结论也成立．
由①②知，对一切都有成立．
【变式6-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足．
(1)求出数列的前三项；
(2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)；；．
(2)当时，，证明见解析．
【解题思路】（1）分别将代入求解即可；
（2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可.
【解答过程】（1）当时，由已知条件可得，即，
解得；
当时，由已知条件可得，将代入得，
解得；
当时，由已知条件可得，同理解得．
（2）由（1）可以猜想，时，等式成立；
假设当时，等式也成立，即，
又因为，
将代入上式解得，
所以时命题成立．
综合可得，当时，．
【变式6-3】（2026高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立．
(1)求，，的值；
(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据，令代入即可求解.
（2）利用数学归纳法的证明即可.
【解答过程】（1），，令，则；
令，；
令，；
（2）猜想，
①当时，满足上式；
②假设时，上式成立，即，
则当时，，
显然，猜想成立，所以．
【题型7 用数学归纳法证明其他问题】
【例7】（2026高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式：
，
，
，
，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1）（2）见解析
【解题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解；
（2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证.
【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：
，，，，
猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，
所以，不等式的一般结论为：
（2）证明：①当时显然成立；
②假设时结论成立，即：成立，
当时，

即当时结论也成立.
由①②可知对任意，结论都成立.
【变式7-1】（2026高二下·河南南阳·期末）设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
【答案】(1)；；；；
(2)当，时，有，证明见解析.
【解题思路】（1）求出的值即得；
（2）利用数学归纳法证明即得.
【解答过程】（1）∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
（2）猜想：当，时，有．
证明：①当时，猜想成立．
②假设当（，）时猜想成立，．
当，．
∵，
∴，则，
即，
∴当时，猜想成立.
由①②知，当，时，有．
【变式7-2】（2026高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
【答案】(1)（n为正整数）；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）不完全归纳得解；
（2）利用数学归纳法证明即可.
【解答过程】（1）解：不等式可写为：，，，，
所以归纳得到命题：（n为正整数）．
（2）证明：①当n＝1时，易知命题成立；
②假设当 时，命题成立，即．
则当时，
，
即时，命题也成立．
由①②可知，．
【变式7-3】（2026·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.
（1）写出点和的坐标；
（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.
【解题思路】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.
【解答过程】（1）由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，
由得：，即；
直线方程为，即，
令，解得：，；
（2）由（1）猜想的坐标为，
设，，则直线的方程为：，
令，解得：，，
直线的斜率为，即，即，
，
用数学归纳法证明的坐标如下：
①当时，满足；
②假设当时，成立，
那么当时，由得：
，解得：，
即当时，成立；
综上所述：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.7 数学归纳法（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 2
【题型3 用数学归纳法证明不等式】 3
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 4
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 5
【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 6
【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 7
知识点1 数学归纳法
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
数学归纳法的重要结论
适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题
【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【例1】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
【变式1-1】（2026高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【变式1-2】（2026高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2026高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时， ，
所以当时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．验证不正确
C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【例2】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)．
【变式2-1】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数．
【变式2-2】（2026高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）．
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式：
(1)；
(2).
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，．
【变式3-1】（2026高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：.
【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）当且时，求证：．
【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：．
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【例4】（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和．
【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论．
【变式4-2】（2026高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数．
【变式4-3】（2026高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【例5】（2026高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除．
【变式5-1】（2026高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除．
【变式5-2】（2026高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．
【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除．
【题型6 用数学归纳法证明数列问题】
【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，．
(1)求，，的值，并推测的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【变式6-1】（2026高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．
(1)求及；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
【变式6-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足．
(1)求出数列的前三项；
(2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明．
【变式6-3】（2026高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立．
(1)求，，的值；
(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明．
【题型7 用数学归纳法证明其他问题】
【例7】（2026高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式：
，
，
，
，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【变式7-1】（2026高二下·河南南阳·期末）设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
【变式7-2】（2026高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
【变式7-3】（2026·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.
（1）写出点和的坐标；
（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.
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