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第3章 一次方程（组）
3.5　认识二元一次方程组
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
旧知回顾：
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )
A．x＋y＝2　　 B．x＋2＝3　　
C．x＋2y＋z＝0　　 D．4x2＝0
2．若x＝1是方程ax＋2x＝3的解，则a的值为____．
B
1
探究新知
知识模块一　二元一次方程和二元一次方程组
(一)合作探究
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔
解：设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.
4x + 2(35－x) = 94.
能否设两个未知数解决？
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
等量关系：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
若设兔有x只，鸡有y只.
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
列出的两个方程还是一元一次方程吗？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
这两个方程和一元一次方程有什么不同吗？
注意
“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
方程的左右两边都是整式.
练一练
判断下列方程是不是二元一次方程？
(1) x+y=11
(2) m+1=2
(3) x2+y=5
(4) 3x-π=11
(5) -5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
(7) 7x+ =13
(8) 4xy+5=0
判断要点：
①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0.
总结
4x＋2y＝94
x＋y＝35
如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？
像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组.
两个等量关系需要同时成立.
(二)自主学习
1．已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是二元一次方程，则m＋n的值是多少？
解：由题意，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，
解得m＝－1，n＝1，
所以m＋n＝－1＋1＝0.
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.
C.
A
知识模块二　二元一次方程组的解
(一)自主学习
x
y
(1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？
1
34
2
33
3
32
4
31
5
30
6
29
7
28
8
27
为什么代入的都是整数？
···
···
x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /···
9
26
10
25
11
24
12
23
13
22
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般地，一个二元一次方程有无数组解.
(2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ···
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 ···
x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②.
x=12，y=23是方程①与方程②的公共解.
写成(12，23)的形式
，它就是上述方程组一个解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
(二)合作探究
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
分析：本题等量关系：
购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱=17元，
购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱=1元.
例
解：(1) 根据等量关系，得
①
②
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
(2),是列出的二元一次方程组的一个解吗？
解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3+2×4=17,方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是 1.
因此，是列出的二元一次方程组的一个解.
①
②
练一练
1.下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解是( )
A．　　　B．　　　
C．　　　D．
D
2．解为的方程组是( )
A．　　　B．　　　
C．　　D．
B
课堂小结
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
随堂检测
1.一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18 km/h. 它在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，请列出相应的二元一次方程组.
解：根据题意，得
分析：
静水中的速度+水流的速度=顺流航行的速度；
静水中的速度－水流的速度=逆流航行的速度.
2.若一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是_____________ （只要求写一个）.
3. 是二元一次方程组的解吗？
解：
方程①左边的值是3×2-4×1=2，方程①右边的值也是2；
方程②左边的值是4×2-3×1=5，方程②右边的值是 6.
因此，不是该二元一次方程组的一个解.
把x用2，y用1分别代入方程①②可得：
左边=右边.
左边≠右边.
①
②

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