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第3章 一次方程（组）
3.6　二元一次方程组的解法
3.6.2　加减消元法
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
旧知回顾：
上节课学习了用代入法解方程组，如果解方程组试试用代入法求解．
解：将方程②移项、两边都除以2，得
y=1-3x
③
将③式代入方程①，得
7x-5×(1-3x)=17
解得
x=1
把x用1代入③式，得
y=-2
因此，是原二元一次方程组的解.
除了用代入消元法解这个方程组，还有其他方法消元吗？
对于二元一次方程x＋y＝5和x－y＝3，如果看作两个等式，对于方程x＋y＋(x－y)＝5＋3成立吗？
探究新知
利用加减消元法解未知数系数相等或互为相反数的方程组
(一)合作探究
已知二元一次方程组
上述方程组中未知数y的系数有什么特点？
这对解方程组有什么启发
观察
发现：方程①中y的系数和方程②中y的系数互为相反数.
启发：若把方程①②的左右两边分别相加，就可消去y，
从而得到关于x的一元一次方程.
已知二元一次方程组
①+②，得
9x=9 ，
两边都除以9，得
x=1 .
把x用1代入方程①，得
7×1+3y=1 ，
y=-2 .
解得
因此，是原二元一次方程组的解.
若f=g，u=v，则f±u=g±v.
该如何选择合适的方法？
只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
代入消元法
加减消元法
解二元一次方程组
解：①-②，得
两边都除以8，得
把y用-1代入方程①，得
解得
因此，是原二元一次方程组的解.
8y=-8 ，
2x+3×(-1)=-1 ，
x=1 .
y=-1 ，
用代入消元法试试，哪种简便？
例3
(二)自主学习
用加减法解下列方程组：(1)　　　　　　　
解：①－②，得5y＝－10.
两边都除以5，
将y＝－2代入方程①，
得4x＋3×(－2)＝6.
解得x＝3.
因此，是原二元一次方程组的解；
得y＝－2.
(2)
解：①＋②，
两边都除以3，
将x＝2代入方程①，
解得y＝－1.
因此，是原二元一次方程组的解．
得3x＝6.
得x＝2.
得2＋y＝1.
利用加减消元法解特殊方程组
(一)合作探究
思考
如果二元一次方程组中两个未知数的系数既不相等也不互为相反数，例如
如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一次方程？
发现：方程①中x的系数的3倍等于方程②中x的系数.
启发：先把方程①的左右两边都乘3，再将得到的方程与方程②左右两边对应相减，便得到关于y的一元一次方程.
①×3，得
6x+9y=-33 .
③
③-②，得
(6x+9y)-(6x-5y)=-33-9 ，
去括号，得
6x+9y-=-33-9 ，
合并同类项，得
14y=-42 ，
两边都除以14，得
y=-3 .
把y用-3代入方程①，得
2x+3×(-3) =-11，
解得
x=-1 .
因此， 是原二元一次方程组的解.
对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解.
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法.
变形 加减 求解 回代 写出解
用自己的语言总结解二元一次方程组的基本思路.
消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值.
我国元代数学家朱世杰 (13-14世纪)在《四元玉鉴》中就用到了消元法.
二元一次方程组
一元一次方程
求出一个未知数的值
求出另一个未知数的值
消元
(二)自主学习
用加减消元法解方程组：(1)　　　　　　　　
解：①×2，
③－②，
两边都除以3，
将x＝2代入方程①，
解得y＝1.
因此，是原二元一次方程组的解；
得4x＋2y＝10.③
得3x＝6.
得x＝2.
得2×2＋y＝5.
(2)
解：②×2，
③－①，
两边都除以7，
将y＝－1代入方程②，
得x＋2×(－1)＝－2.
解得x＝0.
因此，是原二元一次方程组的解．
得2x＋4y＝－4.③
得7y＝－7.
得y＝－1.
课堂小结
最终思想
消元——解二元一次方程组
将两个未知数变成一个未知数求解---____
加减消元法的步骤
变形→加减→求解→
____→写解→____
回代
检验
消元
加减消元法的解题技巧
方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________
相等
成整数倍
随堂检测
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
(1) （2）
(3) (4)
解：(1) ①+②，得
10y=40 ，
解得
y=4 .
把y用4代入①式，得
2x+7×4=22，
解得
x=-3.
因此，是原二元一次方程组的解.
(1)
（2）
(2) ②-①，得
5x=-15 ，
解得
x=-3 .
把x用-3代入①式，得
-2×(-3)+5y=11，
解得
y=1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
(3)
(3) ①×2-②，得
9y=63，
解得
y=7 .
把y用7代入①式，得
3x+2×7=8，
解得
x=-2.
因此， 是原二元一次方程组的解.
(4)
(4) ①+②×2，得
13x=27，
解得
x=.
把x用代入①式，得
3× -4y=7，
解得
y=- .
因此， 是原二元一次方程组的解.
2. 解方程组：
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
3.已知关于x，y的二元一次方程组
的解为求a，b的值.
解：根据题意，得
②×3-①，得
7b=14 ，
解得
b=2 .
把b用2代入①式，得
3a+2×2=13 ，
解得
a=3 .
所以，a=3，b=2 .
4. 已知方程组的解满足方程 x + y = 8，求 m 的值.
解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2.
又∵x + y = 8，
∴5×8 = 2m + 2.
解得 m = 19.
故 m 的值为 19.

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