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(共61张PPT)
第3章 一次方程（组）
3.7　二元一次方程组的应用
第1课时　利用方程组解决和、差、倍、分问题
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
1.列方程解决实际问题的一般步骤是什么？
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
2．若x的4倍，与7的和等于20，可列方程为___________．
3．比a的少3的数是，可列方程为_____________．
4x＋7＝20
a－3＝
探究新知
知识模块　利用方程组解决和、差、倍、分问题
(一)自主学习
思考
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有 335 张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的 3 倍少 17.
小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
本问题涉及的等量关系：
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有 335 张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的 3 倍少 17.
(二)合作探究
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系，得
解得
因此，小楠收集了中国邮票247张，外国邮票88张.
某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练. 某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km，
共用时 15 min. 求自行车路段和长跑路段的长度.
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
例1
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
自行车路段的长度+长跑路段的长度=5 km
骑自行车的时间+长跑时间=15 min
本问题涉及的等量关系：
注意
单位
解：设自行车路段的长度为 x m，
长跑路段的长度为 y m，则
解得
答：自行车路段的长度为3000m，长跑路段的长度为2000m.
练一练
1.某校有空地60 m2，计划将其中90%的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3 m2，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x m2，葡萄园的面积为y m2，下列方程组正确的( )
A．　　B．　　
C．　　D．
B
2．今有人组团购一商品，如果每人出9元，那么多4元；如果每人出6元，那么少了5元，问组团人数和物价各是多少？
解：设组团人数为x，物价为y元．
根据题意，得
解得
答：组团有3人，物价是23元．
3．一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条．现在要用5 m3木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x m3木料制作桌面，y m3木料制作桌腿，恰好配成方桌．
根据题意，得
解得
方桌张数为50×3＝150(张).
答：用3 m3木料制作桌面，用2 m3木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．
课堂小结
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路.
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
实际问题
解方程组
列出二元一次方程组
找出两个等量关系
分析题意
随堂检测
1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.
2
16
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗)
分析：本问题涉及的等量关系：
甲种合金+乙种合金=100kg，
甲种合金含银量+乙种合金含银量=(100×30%) kg=30kg.
解：设甲种合金应取 x kg，乙种合金应取 y kg.
根据题意，得
解得
答:甲种合金应取60kg，乙种合金应取40 kg.
第3章 一次方程（组）
3.7　二元一次方程组的应用
第2课时　利用方程组解决销售问题
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
旧知回顾：
填空：
1．一件商品原价100元，现先降价10%，再涨价10%，这件商品现价____元．
2．小明在网上订购某水果，原价a元，网上订购可享受八八折优惠，支付时还使用一张5元的“零门槛优惠券”，小明实际支付了____________元．
99
(0.88a－5)
探究新知
知识模块　利用方程组解决销售问题
(一)自主学习
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
例2
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
分析：设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.
甲商品降价15%，单价变成 x-15%x=(1-15%) x (元) .
乙商品提价10%，单价变成 y+10%x=(1+10%) y (元) .
调价后的单价和为 100-100×5%=100× (1-5%) (元) .
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
甲商品原单价+乙商品原单价=100元
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1－5%) 元
本问题涉及的等量关系：
解：设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.
根据题意，得
解得
答：甲商品原来的单价为60元，乙商品原来的单价为40元.
练一练
1.开学后书店向学校推销两种素质教育书籍，若原价购买需要880元，书店促销后第一种书打八折，第二种书打七五折，结果两种书共少用了200元，则原来这两种书各需要多少钱？
解：设第一种书需要x元，第二种书需要y元．
根据题意，得
解得
答：原来这两种书各需要400元，480元．
2.某校计划举行知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚．
请根据如图所示的发票中
的信息，帮助刘老师复原
弄花的数据，即分别求出
购置钢笔、笔记本的数量
及对应的金额．
解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
根据题意，得
解得
所以15×15＝225(元)，35×5＝175(元).
答：钢笔购买了 15 支共 225 元，笔记本购买了 35 本共 175 元．
列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
课堂小结
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路.
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
实际问题
解方程组
列出二元一次方程组
找出两个等量关系
分析题意
随堂检测
1.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
甲行走的路程/km 乙行走的路程/km 甲、乙两人行走的路程之和/km
第一种情况 （甲先走2h）
第二种情况 （乙先走2h）
(2+2.5)x
2.5y
36
3x
(2+3)y
36
解：根据题意，得
解得
因此，甲、乙两人的速度分别是6km/h，3.6km/h.
第3章 一次方程（组）
3.7　二元一次方程组的应用
第3课时　利用方程组解决行程问题
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
旧知回顾：
1.列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
2．甲、乙两人从相距50 km的A，B两地出发，相向而行．甲每小时行3 km，乙每小时走2 km，他们x h相遇，可列方程为____________．
3x＋2x＝50
3．甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑7 m，乙每秒跑 6.5 m，甲让乙先跑5 m．设甲出发x s后追上乙，则下列四个方程中不正确的是( )
A．7x＝6.5x＋5　　B．7x＋5＝6.5x　　
C．(7－6.5)x＝5　　D．6.5x＝7x－5
B
探究新知
知识模块　利用方程组解决行程问题
(一)自主学习
思考
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通过图示，你有什么发现？
小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长.
(二)合作探究
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则
根据等量关系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m).
因此，小华家离学校700m.
+
+
练一练
1.两人练习跑步，如果乙先跑16 m，甲8 s可以追上
乙，如果乙先跑2 s，那么甲4 s可以追上乙．求甲、乙二人每秒跑多少米．若设甲每秒钟跑x m，乙每秒
钟跑y m，则所列方程组为_______________．
2．A，B两码头相距 140 km，一艘轮船在其间航行,顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
根据题意，得
解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
3．A，B两地相距20 km，小明从A地向B地前进，同时小亮从B地向A地前进，2 h相遇，相遇后，小明返回A地，小亮继续向A地前进，小明回到A地时，小亮离A地还有2 km.假如两人都是匀速前进的，求两人的速度．
解：设小明速度是x km/h，小亮速度是y km/h.
根据题意，得
解得
答：小明速度是5.5 km/h，小亮速度是4.5 km/h.
课堂小结
1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：
随堂检测
1.春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售. 茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共付260元. 付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元. 这两件衣服的原标价分别是( )
A.100元、300元 B.100元、200元
C.200元、300元 D.150元、200元
A
第3章 一次方程（组）
3.7　二元一次方程组的应用
第4课时　运费与代数式求值问题
湘教版 七年级 数学（上）
导入新课
旧知回顾：
1．解下列方程组．
(1)　　　 (2)
解：
解：
2．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是____元．
8
探究新知
知识模块一　运费问题
(一)自主学习
某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
例3
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
甲、乙两种货车每辆次能运多少吨水果？
(二)合作探究
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
本问题中的等量关系：
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
解：设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果 x t，y t.
根据题意，得
解得
因此，甲种货车每辆次分别可运水果4 t，
乙种货车每辆次分别可运水果6 t.
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
第3次运输了
3×4+5×6=42 (t)
因而合计运输了水果
26+56+42=124 (t)
3次总共应付运费
124×30=3720 (元)
答：该果园三次总共应付运费3720元.
练一练
为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁元素含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁元素，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物 每克乙种食物
其中所含蛋白质 0.5单位 0.7单位
其中所含铁元素 1单位 0.4单位
解：设甲、乙两种食物分别需x g，y g.
根据题意，得
解得
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别需28 g，30 g．
知识模块二　代数式求值问题
(一)自主学习
对于多项式kx+b(其中k，b为常数)，若x分别用1，-1代入时， kx＋b的值分别为-1，3，求k和b的值.
解：根据题意，得
解得
故所求k和b的值分别为-2和1.
例4
(二)合作探究
代数式求值问题，将未知数的值代入代数式中，组成一个二元一次方程组，求出此方程组的解．
归 纳
练一练
1.对于多项式kx＋b(其中k，b为常数)，若x分别用1,3代入时，kx＋b的值分别为－1，3，求k和b的值．
解：根据题意，得
解得
所以k和b的值分别为2和－3.
2．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 024＋(-)2025的值．
解：将代入方程②，
得－12＋b＝－2，
解得b＝10.
将代入方程①，
得5a＋20＝15，
解得a＝－1.
所以a2 024＋(-)2025＝(－1)2 024＋(-)2025＝＋1－1＝0.
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
随堂检测
1.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等,现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个
本问题中的等量关系：
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
甲种纸盒
乙种纸盒
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个.
甲种纸盒
乙种纸盒
根据题意，得
解得
答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个.

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