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第2章 实数
2 平方根与立方根
第3课时　立方根
导入新课
去年夏天天气特别干燥，我们小区定时供水，我们家用棱长为1 m的正方体水箱存满水，可供全家一天使用．请你帮老师算一算，我们家一天需要多少水呢？
如果停水8天，我们家该储存多少水呢？应该准备多大的正方体水箱呢？假如停水27天呢？
探究新知
【探究1】立方根的定义
23＝ ；
(－2)3＝ ；
0.53＝ ；
(－0.5)3＝ ；
＝ ；
＝ ；
03＝ ；
8
－8
0.125
－0.125
0
活动1：算一算
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)。
如：2 是 8 的立方根，-是-的立方根，
0 是 0 的立方根 .
立方根的概念
求一个数 a 的立方根的运算，叫作开立方.
x3 = a x =
互为
逆运算
立方运算
开立方运算
【探究2】开立方的定义
【探究3】立方根的性质
【思考】(1) 一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢
一个数的立方根只有一个。
(3) 正数有几个立方根 0 有几个立方根 负数呢
8 的立方根是 2； 0 的立方根是 0；
-27 的立方根是-3。
正数有一个立方根；0 有一个立方根；
负数有一个立方根。
(2) 求 8 ，0 ，-27 的立方根。
因为( )3 ＝，所以的立方根是（ ）.
【练一练】根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －1，所以 －1 的立方根是（ ）；
0
1
-1
0
-1
0.5
0.5
-
-
你能发现正数的立方根有什么特点吗 负数呢
0 的立方根是多少
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。
x =
x3 = a
开立方
立方运算
知识要点
根指数
被开方数
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
读作：三次根号 a，
每个数 a 都有一个立方根，记作，
【探究4】立方根的表示
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
±
应用举例
例1 求下列各数的立方根：
(1)－27；　(2) ；　(3)0.216；　(4)－5.
【方法指导】利用立方根的概念求解．
解：(1)因为(－3) 3 ＝－27，所以－27的立方根是－3，即＝－3；
(2)因为 ＝，所以的立方根是，即＝；
(3)因为0.63＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 ＝0.6；
(4)－5的立方根是．
(1)－27；　(2) ；　(3)0.216；　(4)－5.
例2 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）-
（4）
=0.3
=-1
=-
=
=-
【方法指导】
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数．
例3 下列说法正确的有____．(填序号)
④
①－4没有立方根；
②1的立方根是±1；
③的立方根是；
④－5的立方根是－；
⑤64的算术平方根是±8.
【方法指导】根据立方根和算术平方根的概念进行判断．
(2)因为 =___， =___，所以 ___ ；
(1)因为 =____， =____，所以 ___ ；
–1
1
=
–3
3
=
例4 计算：
思考：(1) 各题中被开方数有什么关系
(2) 这些数的立方根有什么关系
(3) 根据计算结果，可以得到什么初步结论
互为相反数
互为相反数
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 () 等于什么 等于什么
(2) 与 有什么关系
(1) () ＝a，＝a.
(2) 相等.
结论 1 互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ＝.
结论 2 “先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数，
即 () ＝＝a.
归纳总结
立方根
概念
开立方
性质
表示方法
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)
a 的立方根记为
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数
求一个数的立方根的运算
课堂小结
随堂练习
1．判断正误：
(1)－8没有立方根．
(2)1的立方根是±1.
(3) 的立方根是 .
×
×
×
2. 填空：
(1) 343 的立方根是____________;
(2) － 的立方根是____________;
(3) 0.125 的立方根是____________;
(4) －6 的立方根是____________.
7　
－ 　
0.5　
　
3. 求下列各式的值：
(1) ； (2)()3； (3)－ .原式＝6.
解：(1)原式＝－ .
(2)原式＝－8.
(3)原式＝6.
4. 求下列各式中x的值：
(1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729.
解：(1)x＝－0.3.
(2)x＝11.
5．已知＋|b3-27|＝0，求(a＋b)b的立方根．
解：由题意可知，a3＋64＝0，b3-27＝0，
解得a＝-4，b＝3，则(a＋b)b＝(-4＋3)3＝-1，
∴ 的立方根是-1.
6. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
解：设这个正方体的棱长为acm，
则依题意得a3＝9×3×4×2＝216，
解得a＝6.
故这个正方体的棱长为6cm.
7．一个正方体的体积是125 cm3，它的表面积是多少？
解：正方体的边长＝5(cm)，
它的表面积为52×6＝150(cm2).
完成对应课时练习
作业布置

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