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3.1.2.2分段函数
A级　基础练习
1.已知f(x)=则f(-3)=(　　)
A.-3 B.3 C.-9 D.9
2.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
3.若函数f(x)=则f(25)=(　　)
A.512 B.256
C.128 D.64
4.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下:
每户每月用水量 水价
不超过10 m3的部分 2.5元/m3
超过10 m3但不超过15m3的部分 5元/m3
超过15 m3的部分 7.5元/m3
若某户居民本月交纳的水费为65元,则此户居民本月用水量为(　　)
A.17 m3 B.15 m3
C.13 m3 D. m3
5.已知函数f(x)=若f(a)=10,则a的值是(　　)
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
6.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥1的解集为　　　　　　　　　　.
7.某市出租车收费标准如下:在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费,超过3 km以外的路程按2.4元/km收费,某人乘车交车费19元,则此人乘车的路程为　　　　　km.
8.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲同学10时整出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:分)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式.
9.(2026天津宝坻阶段练习)已知函数f(x)=
(1)求f(4),f(f(1))的值;
(2)若f(a)=1,求a的值;
(3)在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数f(x)的值域(无需写出理由).
B级　拔高提升
10.已知函数f(x)=则f(x)的值域是(　　)
A.[1,+∞)
B.[0,+∞)
C.(1,+∞)
D.[0,1)∪(1,+∞)
11.已知函数f(x)=+1,g(x)=f(x-2)+1,则不等式f(x)>g(x)的解集为(　　)
A.(-∞,2) B.(1,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
12.(2026河南南阳阶段练习)已知函数f(x)=则不等式f(2x)A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-,0] D.[0,)
13.(2026山东百师联考)(多选题)已知函数f(x)=若f(f(a))=20,则a的值可能为(　　)
A. B.
C.- D.-
14.已知函数f(x)=若f(f(a))<-,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
15.(北师大版教材习题改编)高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”美誉,以“高斯”命名的概念、定理、公式很多.如高斯函数y=[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.如[3]=3,[3.7]=3,[-3.6]=-4,记函数f(x)=x-[x],则f(-2.4)= 　　　　,f(x)的值域为　　　　　.
16.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式;
(2)若f(x)=,求实数x的值.
17.水培植物需要一种植物专用营养液,已知每投放a(0(1)若只投放一次4个单位的营养液,则有效时间最多可能持续几天
(2)若先投放2个单位的营养液,6天后再投放m个单位的营养液,要使接下来的4天中,营养液能够持续有效,试求m的最小值.
答案：
1.C
2.B　由题可得f(0)=2,故f(f(0))=f(2)=4-2a=-2,所以a=3.故选B.
3.B　f(25)=2f(21)=4f(17)=8f(13)=16f(9)=32f(5)=64f(1)=128f(-3)=256.故选B.
4.A　设用户的用水量为x m3,缴纳的水费为y元,当0≤x≤10时,y=2.5x∈[0,25];当1015时,y=50+7.5(x-15)=7.5x-62.5>50.令7.5x-62.5=65,解得x=17.则此户居民本月用水量为17 m3.故选A.
5.B　若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5.综上,a=5或a=-3,故选B.
6.(-∞,-1]∪[1,+∞)　由题意得所以x≥1或x≤-1.
7.8　根据题意19>7,判断出乘车的路程超过3 km,设此人乘车的路程为x km.
由题意得2.4(x-3)+7=19,整理得x-3=5,解得x=8.
8.解 当x∈[0,30]时,设y=k1x,将(30,2)代入可得k1=,所以y=x;当x∈(30,40)时,y=2;当x∈[40,60]时,设y=k2x+b,由已知得解得k2=,b=-2,所以y=x-2.
所以f(x)=
9.解 (1)f(4)=-2×4+9=1,f(f(1))=f(12-2×1)=f(-1)==-1.
(2)①当a<0时,f(a)==1,所以a=1(舍去);
②当0≤a≤3时,f(a)=a2-2a=1,解得a=1±,
又0≤a≤3,所以a=1+;
③当3综上,a的值为1+或4.
(3)如图,
由图象可知,函数f(x)的值域为(-∞,3].
10.B　由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;
当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
综上,f(x)的值域是[0,+∞).故选B.
11.C　由题知f(x)=+1=g(x)=f(x-2)+1=
在同一坐标系下画出f(x),g(x)图象如下所示:
由图可知f(x)>g(x)的解集为(1,+∞).故选C.
12.A　当x>1时,f(2x)=f(x-1)=1,不合题意;当0当x≤0时,f(2x)=4x2+1,f(x-1)=(x-1)2+1,所以不等式f(2x)综上,-113.BD　设t=f(a),当t≤0时,f(t)=2t2+2=20,解得t=-3或t=3(舍去);当t>0时,f(t)=4t=20,解得t=5.
再根据t的值求a的值,
当f(a)=-3时,若a≤0,则f(a)=2a2+2=-3,2a2=-5,此方程无实数解;
若a>0,则f(a)=4a=-3,解得a=-(舍去).
当f(a)=5时,若a≤0,则f(a)=2a2+2=5,2a2=3,a2=,解得a=-=-;
若a>0,则f(a)=4a=5,解得a=.
综上,a的值可能为-.故选BD.
14.(-∞,-)∪[0,4)　令f(a)=t,则f(t)=原不等式化为f(t)<-.
当t≥0时,解得0≤t<1,即0≤f(a)<1;
当t<0时,解得-2若0≤f(a)<1,当a≥0时,解得2≤a<4;
当a<0时,a无解,因此2≤a<4.
若-2综上,实数a的取值范围是(-∞,-)∪[0,4).
15.0.6　[0,1)　f(-2.4)=-2.4-[-2.4]=-2.4-(-3)=0.6.
函数的图象如图所示,所以f(x)的值域为[0,1).
16.解 (1)根据图象可知f(4)=0,则f(f(4))=f(0)=1,
设线段对应的解析式为y=kx+d(-1≤x≤0).
将点(0,1)和点(-1,0)的坐标代入可得d=1,k=1,即y=x+1(-1≤x≤0).
当x>0时,设y=a(x-2)2-1(a>0).
又图象经过点(4,0),∴4a-1=0,a=,
∴y=(x-2)2-1,即y=x2-x(x>0).
∴f(x)=
(2)当x+1=时,x=-,符合题意;
当x2-x=时,解得x=2+或x=2-(舍去).
故x的值为-或2+.
17.解 (1)因为一次投放4个单位的营养液,所以水中释放的营养液浓度为y=4f(x)=当0≤x≤4时,≥4,解得2≤x≤4;当4综上,2≤x≤8.所以一次投放4个单位的营养液,有效时间最多可能持续8天.
(2)设从第一次投放起,经过x(6≤x≤10)天后,浓度为g(x)=2(5-x)+m[]=10-x+m·.
因为6≤x≤10,所以12-x>0,x-4>0,所以10-x+m·≥4,即m≥=10-[(x-4)+],所以10-[(x-4)+]≤10-2=2,当且仅当x-4=,即x=8时,等号成立,所以m≥2.
所以为使接下来的4天中,营养液能够持续有效,m的最小值为2.
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