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四川广安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量评价数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（ ）
A．95 B．95.5 C．105 D．106.5
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
4．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
6．如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ）

A． B．2 C． D．
8．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
10．小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．这10个月营业额的极差为39万元
B．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额的平均数大于30
11．如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，平面，则点M的轨迹长等于
C．
D．当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形
三、填空题
12．某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________．
13．圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________．
14．在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数（i为虚数单位，）
(1)若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
16．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；
(2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？
17．已知锐角的角所对的边分别是，向量，
(1)若，证明：为等腰三角形；
(2)若，，的周长为，求角．
18．如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值．
19．如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N．

(1)求；
(2)若点M在线段上（端点除外），且，求的面积；
(3)当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值．
参考答案
1．D
解析：.
2．B
解析：由于，所以92，95，96，98，100，105，108，110的第一四分位数是
.
3．B
解析：由题设，结合大边对大角知中的最大角为，
令，则，故，
由，则为钝角，即为钝角三角形.
4．D
解析：由题设，在方向上的投影向量的坐标为.
5．B
解析：A选项，若，，则或，所以A选项错误；
B选项，若，则在内存在直线，使得，
又，，故，则，所以B选项正确．
C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误；
D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误.
故选：B．
6．B
解析：.
7．A
解析：取中点，连接，，则，，
二面角的平面角为，，
由，
得，，
在三角形中，由余弦定理知，
，所以.

8．C
解析：由， x，，
根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.

在中，设内角所对的边分别为，
因为，所以，
因为，所以，所以，
设的内切圆半径为，则，解得，
所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.
9．BCD
解析：选项A，由，则，所以A错误；
选项B，由，则，所以B正确：
选项C，由，则，所以C正确；
选项D， ，所以D正确.
10．ACD
解析：A：极差为，正确；
B：由图知，二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，
四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，
八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，
故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，错误；
C：前5个月的平均数为，
方差为，
后5个月的平均数为，
方差为，
因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，正确；
D：由10个数据的平均数为，正确.
11．ABC
解析：A项，显然底面ABC，因为平面ABC，所以，
取BC的中点E，连接则，
因为为正三角形，所以，由正棱柱性质可知，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以故A选项正确；
B项，，取AB的中点Q，连接DQ，，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
故当M在QD上时，满足平面，故M的轨迹长度为QD，其中，
由余弦定理得，故B选项正确；
C项，，，
，，
又棱台的体积为：
，
所以，故C选项正确；
D项，四边形为等腰梯形，当P与重合，时，，
但此时与OB平行，故与OD不平行，
此时四点、O、D、P构成的图形不为直角梯形，故D选项错误．
故选：ABC
12．12
解析：应抽取的女生人数为：.
13．12π
解析：因底面半径为2，则底面周长即扇形弧长为，
又圆心角为，则扇形半径为：.
则扇形面积即圆锥侧面积为：.
14．2π
解析：取的中点，连接，
因为，，
所以，，
故，所以为三棱锥的外接球球心O，
三棱锥的外接球半径为，
即为平面与平面的夹角，
因为平面平面，所以，
其中，故，
又三棱锥的体积为，所以
故为的中点，，
过点F作球O的截面，当截面与垂直时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.
15．(1)
(2)
解析：（1）由题意得：，即，
故（舍弃）或，综上解得，故m的取值范围是.
（2）若，则．因为复数z是关于x的方程的一个根，所以．
，
．.
16．(1)
(2)众数为85分，平均数为76.5分
(3)88分
解析：（1）由题意得，可得；
（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分，
估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分；
（3）∵，且，
∴第83百分位数在内，记为m，则，
∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分.
17．(1)证明：∵，，
∴，∴，
∴，∴，即，
，∴，∴为等腰三角形.
(2)
解析：（1）略
（2）若，且，，
所以，即，
因为，则，
∵，的周长为
∴，由正弦定理，，(为的外接圆半径)
则，
故，所以，
由，即，∵为锐角三角形，∴.
验证：由余弦定理，
由，代入计算得，
再结合，解得或，所以三角形的三边为.
所以最大边为，且，因此最大角为锐角，符合锐角三角形.
因此.
18．(1)∵在菱形中，，
∴，且在平面内的射影是点，
∴平面，∵平面，
∴，
∵，平面，
∴平面.
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）由题意可得：与都是边长为的等边三角形，
所以，，，
∴，

过点作，垂足为，因为，所以为的中点，
∴，∴，
设点到平面的距离为，则由，则
∴，解得.
∴点到平面的距离为；
（3）设直线与平面所成的角为，
∵，平面，平面，∴平面，
∴点到平面的距离，即为点到平面的距离，
过点作平面交平面于点，则.

此时，要使最大，则需使最小，此时，
由题意可知：，∴与全等，
∴，∴，
∴，∴，
即直线与平面所成角的正弦的最大值为.
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由题意得：点A，点B分别为的中点
，，
，
，即.
（2）方法一：
设，则，
，
即，
，解得或（舍去），即
，

方法二：
由题意得：，且，
在中，，
，
在中，设，
则
或（舍去），即，
.
（3）当点M，B位于直线的异侧时

设，，
，
当时，，当时，，
，
，
其中，，
，
，当且仅当x＝2时，取等号；
，当时，取等号；
又，故等号能取得
综上可知，的最小值为

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