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第四章　一次函数
2　认识一次函数
第1课时　一次函数与正比例函数
导入新课
某登山队大本营所在地的气温是5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用表达式表示y与x间的关系．
每升高1 km气温下降6 ℃，那么升高x km，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.
探究新知
【操作思考】（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。
问题1：在坐标纸上描出（t，V）对应的点。
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
问题2：漏水量的变化具有什么规律？这个水龙头一天的漏水量是多少
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
5
10
15
20
25
30
35
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规律：实验时间每增加1min,漏水量增加5mL。
一天有 24×60 = 1440 min，
据此估计这个水龙头一天的漏水量为 5×1440 = 7200 mL。
问题3：分析实验数据，写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式。
V = 5t
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
（2）上表是小明通过实验得到的数据.
思考1：请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点.
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
思考2：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，
农村100 L/d.
一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟。
由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L。
一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L.
所以不够一个人一年使用.
（3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
V = 5.5t
你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。
不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。
(2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？
因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。
影响：表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能改变。
表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。
图象：更陡。
表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）。
（3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？
【操作思考】为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
O
1
2
3
4
5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
O
1
2
3
4
5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm，
那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是
0.5×10 = 5 cm。
则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为
22.4 - 5=17.4 cm。
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
(3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需45.8 min。
(4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm.
也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。
问题1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？
问题2：为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
1. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
(2) 汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
认识一次函数的现象
实际问题解决
实验与坐标系关联
变量关系分析
实验数据采集
坐标系呈现
数据规律推导
均匀变化理解
数据估算应用
模型应用拓展
课堂小结
随堂练习
1. 我们知道：海拔高度每上升 1 km，温度下降 6 ℃，某时刻，某地地面温度为 10 ℃，设高出地面 x km处的温度为 y ℃，
(1) 随着海拔高度的上升，温度的下降 （填“是”或“不是”）均匀的.
(2)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
是
y ＝10－6x
2. 假设圆柱的高是 8 cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为 .
(2) 如果圆柱底面半径为 r (单位：cm)，那么圆柱的体积 V (单位：cm3) 可以表示为 ；
(3) 当 r 由 1 cm 变化到 6 cm 时，
V 由 cm3 变化到 cm3 .
圆柱的底面半径
V＝8πr2
8π
288π
3. 某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为 y 元. y 是 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
由y=2.2x得，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
4. 如图，甲、乙两地相距100km. 现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向丙地行驶.
设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离.
甲
乙
丙
V=80km/h
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值.
y=100+80x，y是x的一次函数；
y=140
5．有下列函数：(1)y＝；(2)y＝x＋5；(3)y＝－3x；(4)y＝3x2－4x；(5)y＝50－0.23x；(6)y＝.其中是正比例函数的有_________，是一次函数的有_____________．(填序号)
(3)(6)
(2)(3)(5)(6)
6．已知函数y＝(m－1)x＋m＋2，当m_______时，它是一次函数；当m＝______时，它是正比例函数．
≠1
－2
7．当k＝____时，y＝(k＋1)xk2＋k是y关于x的一次函数．
8．已知等腰三角形的周长为15 cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm，写出y与x之间的函数关系式．
1
解：y＝15－2x.
完成对应课时练习
作业布置

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