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第四章　一次函数
2　认识一次函数
第2课时　分段函数与方案选择
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写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每个笔记本2.8元，小红所付款y(元)与买笔记本的个数x(个)之间的关系；
解：(1)y＝2.8x
既是一次函数，又是正比例函数；
(2)有一个长为100 m，宽为90 m的矩形场地准备扩建，使长增加x m，宽增加y m，且使矩形的周长为420 m，y与x之间的关系．
(2)y＝-x＋20
是一次函数，但不是正比例函数．
探究新知
某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。
解：甲公司的费用：15×30＝450（元）
乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）
∵ 450＜500，
∴建议租用甲公司的客车。
甲公司：
总费用=单价×里程
乙公司：
总费用=里程费+服务费
（1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？
（2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？
解：甲公司的费用：15×52＝780（元）
乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）
∵ 780＞720，
∴建议租用乙公司的客车。
（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？
解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同，
甲公司收费为 15x 元，乙公司收费为 (10x+200) 元，
据题意，15x＝10x＋200，解得 x＝40。
∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。
你知道生活中还有哪些也是相关的计费问题？
除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。
本质上都是一次函数的应用。
为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m ）
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
典例精析
(1)当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；
解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。
于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)，
即 y＝4.83x－303.6。
根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式
(2)某户一年用水量是 250 m3，求该户这一年的水费；
解：当 x＝250 时，
y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。
计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m ）
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
用水量 250 m3 在哪一档？
(3)某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量。
计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m ）
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
1000.5 元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？
解：因为 3.45×220＝759， 4.83×300－303.6＝1145.4，
759＜1000.5＜1145.4，
所以该户用水量属于第二档。
设该户去年一年的用水量为 x m3，则
1000.5＝4.83x－303.6。
解这个方程，得 x＝270。
因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。
（1）在例 3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y (单位：元)与用水量 x 之间的关系式吗？
思考
计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m ）
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
当x＞300 时，总水费 y 等于三个档水费之和
分析：此时水费 y 由三部分组成，第一档 220m 水费、第二档 (300－220) m 水费以及超出 300 m 部分的水费。
∴ y = 3.45×220＋4.83×(300－220)＋5.83×(x－300)
y = 5.83x－603.6
（2）像例 3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？
①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等；
②注意：数据的准确性、灵活性与适应性等；
例如：在出租车计费中，k 代表每千米的费用变化对总费用的影响，b 代表固定的服务费等。
讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？
自 2019 年 1 月 1 日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过 800 元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过 800 元但不超过 4000 元的，预扣预缴税款＝（每次收入－800）×20%.
典例精析
解：当每次收入超过800元但不超过4000元时，
y＝（x－800）×20%，即y＝0.2x－160;
（1）当每次收入超过 800 元但不超过 4000 元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y（元）与每次收入 x（元）之间的关系式;
（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元
解：当 x＝3500 时，y ＝0.2×3500－160＝ 540（元）;
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元
∵（4000－800）×20%＝640（元），600 < 640
∴此人这次取得的劳务报酬不超过 4000 元.
设此人这次取得的劳务报酬是 x 元，
则 600 ＝0.2x －160．解得 x＝3800.
∴此人这次取得的劳务报酬是 3800 元.
水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”。其计时原理：水匀速漏入受水壶，受水壶中的浮子就会均匀升高，浮子升高的高度 h 与所经历的时间 t 之间的关系是 h = kt（k为常数）。
漏刻计时
课堂小结
分段函数
与方案选择
方案优选问题
分段收费问题
随堂练习
1．某通讯公司最近推出的无线市话的收费标准为前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2元，3 min后每分钟收费0.1元．则通话一次的时间x(单位：min)(x＞3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是 ( )
A．y＝0.1x B．y＝0.2＋0.1x
C．y＝0.2＋0.1(x-3) D．y＝0.1x＋0.5
C
2. 我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ ）
A. 10 m3 B. 15 m3 C. 20 m3 D. 25 m3
C
3.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计;
B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计。
解：A类收费: y ＝12＋0.2×300＝72（元）,
B类收费: y＝0.25×300＝75（元）,
所以应选择A类收费方式。
（1）若每月平均通话时间为300 min，你选择哪类收费方式
（2）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等
解：由题意，得12＋0.2x＝0.25x, 解得x＝240。
所以每月通话时间为240 min时,
按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等。
4. 某市出租车收费标准如下：3 千米以内（含）收费 10 元，超过 3 千米的部分每千米加收 2 元。
（1）写出收费 y（单位：元）与行驶路程 x（单位：千米）（x≥3）之间的函数关系式；
解：当 x=3 时，y=10，
当 x＞3 时， y=10＋2(x－3)=2x＋4，
综上 y=2x＋4 （x≥3） 。
（2）若某人乘坐出租车付费 22 元，求其行驶的路程。
∵22＞10，
∴2x＋4=22，解得 x=9，
所以行驶的路程为 9 km。
5. 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用气量及分档计费标准：
计费档 户年用气量 x/m3 单价/（元/m ）
第一档 0第二档 300第三档 x>600 3.82
解：y =2.73×300＋3.28（x－300），即 y=3.28x－165。
(1)当 300 < x≤600 时，写出燃气费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；
(2)某户一年用气量是 400 m3，求该户这一年的燃气费；
当 x =400 时，y=3.28×400－165=1147（元）。
因为 2.73×300=819（元），3.28×600－165=1803（元），819<1311<1803，所以该户去年一年的用气量属于第二档。
设该户去年一年的用气量为 x m3，则 1311=3.28x－165。
解这个方程，得 x=450。
因此，该户去年一年的用气量为 450 m3。
(3)某户去年一年的燃气费是 1311 元，求该户去年一年的用气量。
完成对应课时练习
作业布置

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