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第五章　二元一次方程组
1　认识二元一次方程组
导入新课
问题1：从它们的对话中，你最想知道什么？
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
探究新知
【探究1】二元一次方程的概念
情境1：小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植.已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株，如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株，那么小明的绿植株数是小颖的 2 倍.
(1) 这个情境涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
小明和小颖栽种的绿植数量.
(2) 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程
x－y＝2 .
x＋1＝2( y－1).
等量关系
小明栽种的绿植数量＝小颖栽种的绿植数量＋2
小明栽种的绿植数量＋1＝2×(小颖栽种的绿植数量－1)
情境2 ：周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，
他们一共 8 个人，买门票花了 34 元.已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元.
(1) 这个情境涉及哪些量
这些量之间有怎样的等量关系
成人数量和学生数量；
成人总票价和学生总票价.
(2) 设他们中有 x 个成人、y 名学生，由此你能得到怎样的方程
成人数量＋学生数量＝8
成人的总票价＋学生总票价＝总的门票钱数
x＋y＝8 .
5x＋3y＝34.
等量关系
在上面两个情境中，我们分别得到方程：
x－y＝2
x＋1＝2( y－1)
x＋y＝8
5x＋3y＝34
思考1 上述方程有什么共同特点？
思考2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
思考3 你能给它们起个名字吗？
注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1，
而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程
就不是一次方程；
(2) 方程的左右两边都是整式.
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫作二元一次方程.
【知识要点】
【探究2】二元一次方程组的概念
是
不是
是
不是
不是
不是
(1) 4y－3z＝z＋6；
(3) x ＋2y＝0；
(5) 2x ＋2x＋y＝2x ；
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(6) 4－xy＝1.
总 结
判断要点：
①是否为整式方程；
②是否含两个未知数；
③未知数次数是否为 1；
④化简后未知数的系数不为 0.
例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＋n＝_____．
0
| m |＝1
| m－1 |≠0
2n－1＝1
m＝－1
n＝1
m＋n＝0
若 x2m－1 + 5y3n－2m = 7 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m =____，n =____.
1
1
2m－1 = 1
m = 1
n = 1
3n－2m = 1
针对训练
【思考·交流】在上面的方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 所表示的对象相同吗 y 呢 与同伴进行交流.
两个方程中的 x 所表示的对象相同，y 也相同.
x＋y＝8，
5x＋3y＝34.
因而 x，y 必须同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34. 把它们联立起来，得
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
【知识要点】
例如 和
都是二元一次方程组.
x＋1＝2(y－1)
x－y＝2，
x＋2y＝7，
3y＋1＝2
下列方程组是二元一次方程组吗？
三个未知数
未知数出现在分母中
√
√
练一练
例3 加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.
【探究3】二元一次方程(组)的解
解：设第一道工序安排 x 人，第二道工序安排 y 人，根据题意列方程组得
900x＝1200y，
x＋y＝7.
请你找出符合下列二元一次方程实际意义的值填入表格：
5x + 3y = 34
x + y = 8
x
y
x 1 2 3 4 5 6
y 7 6 5 4 3 2
x
y
x 2 5
y 8 3
二元一次方程的解：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解
思考1：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x + y = 8
5x + 3y = 34
x 1 2 3 4 5 6
y 7 6 5 4 3 2
x 2 5
y 8 3
思考2：上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？
就是二元一次方程组
的解.
二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的公共解.
【知识要点】
例4 若 是关于 x，y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 .
－1
x = -2，
y = 3
典例精析
C
3. 二元一次方程组 的解是 ( )
A.
C.
D.
B.
x = 4，
y = 2
x + 2y = 10，
y = 2x
x = 3，
y = 6
x = 4，
y = 3
x = 2，
y = 4
总 结
一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解.
二元一次方程
①每个方程含有____个未知数；
②含有未知数的项的次数______
使二元一次方程左右两边的值______ 的两个______的值
二元一次方程组
①含有__个未知数；
②含有未知数的项的次数______；
③一共有__个方程
二元一次方程组的两个方程的______
两
都是 1
两
都是 1
两
相等
公共解
未知数
解
解
课堂小结
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　A　)
A. B.
C. D.
A
随堂练习
2. 方程组 的解是(　B　)
A. B.
B
C. D.
3. 若3xm＋3＋yn－2＝8是关于x，y的二元一次方程，则m＝____，n＝____.
4. 若 是方程ax＋y＝1的解，则a＝____.
－2　
3　
2　
5．请写出一个二元一次方程组：___________
___________，使它的解是
x＋y＝1
2x-y＝8
(答案不唯一)
x＝3
y＝-2.
6．已知 是方程2x－ay＝3b的一个解，那么a－3b＝____．
x＝1
y＝-1.
－2
7．在① ；② ；③ 三对数值中，____是方程x＋y＝3的解，____是方程3x＋2y＝5的解，____是方程组 的解．(填序号)
x＝2
y＝1
x＝1
y＝1
x＝-1
y＝4
①③
②③
③
x＋y＝3
3x＋2y＝5
8. 根据题意列二元一次方程组：
(1)两批货物，第一批360t，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500t，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
解：设每节火车皮平均装货物xt，
每辆汽车平均装货物yt，
则
(2)某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.问这个课外小组分成了几组？共有多少人？
解：(2)设这个课外小组分成了x组，共有y人，
则
解：设这个课外小组分成了x组，共有y人，
则
完成对应课时练习
作业布置

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