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第七章　证明
1　为什么要证明
导入新课
是静还是动？
这是螺旋，还是一些同心圆？
柱子是圆的还是方的
探究新知
问题1：(1) 线段 a 与线段 b 哪个比较长？
a
b
(2) 图中的四边形是正方形吗？
a
b
a = b
观察得出的结论不一定正确
是正方形
探究方法：观察
验证方法：
实验验证
有时候视觉受周围环境的影响，往往误导我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论.
(3) 如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否
一致，并与同伴进行交流。
解：设赤道周长为 c m，则铁丝与地球赤道之间的间隙为-=≈0.16 (m).
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.
(3) 如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
探究方法：感觉
验证方法：推理验证
直觉得出的结论不一定正确
(1) 代数式 n2 - n + 11 的值是质数吗？取 n = 0，1，2，3，4，5 试一试，你能否由此得到结论
n 0 1 2 3 4 5
n2-n+11
质数/合数
“对于所有的自然数 n，n2 - n + 11 的值都是质数” ？
6 7 8 9 10
典例精析
n 0 1 2 3 4 5
n2-n+11
质数/合数
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
当 n = 11 时，n2 - n + 11 的值为 121 = 112，
所以，对于所有自然数 n，n2 - n + 11 的值未必都是质数.
6 7 8 9 10
(2) 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE. DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
A
D
E
B
C
A
D
E
B
C
位置关系：DE∥BC
数量关系：DE=BC
验证方法：测量推理
测量得出的几何结论不一定正确
你能肯定你的结论对所有的 △ABC 都成立吗？与同伴进行交流.
判断一个数学结论是否正确，仅靠观察、猜想、
实验还不够，
必须经过一步一步、有根有据地推理.
(1) 直觉有时会产生错误，不一定可信；
(2) 图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3) 少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立．
归纳总结
例1 先观察再验证．
(1) 图①中的实线是直的还是弯曲的？
(2) 图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？
(3) 图③中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？
可以借助实验的方法验证
典例精析
解：通过观察可能得出的结论是：
(1) 实线是弯曲的.
(2) a 更长一些.
(3) AB 与 DC 不平行.
而我们用科学的方法验证后发现：
(1) 实线是直的.
(2) a 与 b 一样长.
(3) AB 平行于 CD.
例2 如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD.
(1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB
和∠COD 的度数；
(2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB
和∠COD 的度数；
分析：由于∠AOB、∠COD 均与∠BOC 互余，故可根据∠BOC 的度数求得∠AOB 与∠COD 的度数，进而归纳出两角之间的关系.
解：(1) 因为 OA⊥OC，OB⊥OD，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°.
因为∠BOC＝30°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
(3) 由 (1)(2) 你发现了什么
(4) 你能说明一下你的理由吗
解：(3) 发现∠AOB＝∠COD.
(4) 因为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，
∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.
所以∠AOB＝∠COD.
方法总结
检验数学结论具体经历的过程是：
观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．
为什么要证明
数学结论必须经过严格的论证
实验验证
举出反例
推理说明
论证方法
课堂小结
1. 下列语句中说法正确的是(　D　)
D
随堂练习
A. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
B. 任何一个角的补角都比这个角大
C. 一个锐角加上一个锐角的和是钝角
D. 任意两个直角都相等
2. 下列推理正确的是(　B　)
A. 因为a∥d，b∥c，所以c∥d
B. 因为a∥b，a∥c，所以b∥c
C. 因为a∥c，b∥d，所以c∥d
D. 因为a∥b，d∥c，所以a∥c
B
3. 甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高.”乙说：“我不是最矮.”丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮.”丁说：“我最矮.”实际测量表明只有一人说错了，则身高从高到低排第三位的是_______.
丙　
4. 当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2
的值都等于1吗？
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值不一
定等于1.
5．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-4n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-4n的值都是负数．小明的猜想对吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不对．理由如下：当n＝4时，n2-4n＝42-4×4＝0.当n＝5时，n2-4n＝52-4×5＝5>0.因此，当n为任意正整数时，n2-4n的值不一定都是负数．
完成对应课时练习
作业布置

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