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(共34张PPT)
第7章 证明
3　平行线的证明
第2课时　平行线的性质
导入新课
现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里，大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？这是本节课我们将要学习的内容．
探究新知
探究点 测量滑轮组的机械效率
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
符号语言
文字语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.
求证：∠1 =∠2.
假设
∠1 ≠ ∠2
得出相关条件
与原有知识矛盾
假设不成立
问题3 你能说说证明的思路吗
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？
G
H
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD.
又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行.
假设原命题不成立
进行推理，产生矛盾
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2.
假设不成立，原命题成立
像这样的证明方法叫作反证法:
反证法
提出与结论相反的假设
将假设作为条件，通过推论导出矛盾
假设不成立，从而肯定原命
题成立
定理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
∴∠1 =∠2
（两直线平行，同位角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式：
a
b
c
1
2
性质1
思考：利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下！
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的内错角.求证：∠1 =∠2.
l1
l2
3
2
1
l
典例精析
∴∠1＝∠3 (两直线平行，同位角相等).
∵∠2＝∠3 (对顶角相等)，
∴∠1＝∠2 (等量代换).
证明：∵ l1∥l2 (已知)，
l1
l2
3
2
1
l
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
∵ l1∥l2(已知)，
∴ ∠1 =∠2(两直线平行，内错角相等).
应用格式：
l1
l2
3
2
1
l
性质2
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角.求证：∠1 +∠2 = 180°.
l1
l2
3
2
1
l
典例精析
证明：∵ l1∥l2 (已知)，
∴∠2 =∠3 (两直线平行，同位角相等).
∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
l1
l2
3
2
1
l
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
∵ l1∥l2(已知)，
∴ ∠1 +∠2 = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
应用格式：
l1
l2
3
2
1
l
性质3
例1 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角 .
求证：b∥c.
b
c
3
2
1
a
d
典例精析
证明：∵b∥a（已知），
∴∠2 =∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3 =∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2 =∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
b
c
3
2
1
a
d
符号语言：
如图，b∥a，c∥a（已知），
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）.
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
b
c
3
2
1
a
例2 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？
A
D
C
B
解：∠A =∠C，∠B =∠D.
理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)，
∴∠A +∠D = 180°，
∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A =∠C (同角的补角相等).
同理，∠B =∠D.
A
D
C
B
证法一：
∵ AB∥DC（已知），
∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠B =∠D（已知），
∴∠D +∠C = 180°（等量代换）.
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
A
D
C
B
例3 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.求证：AD∥BC.
证法二：
如图，延长 BA，得∠1.
∵AB∥CD（已知），
∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B = ∠D（已知），
∴∠1 = ∠B（等量代换）.
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
1
A
D
C
B
证法三：
如图，连接 BD .
∵ AB∥CD (已知)，
∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
∵∠ABC =∠ADC (已知)，
∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质).
∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
A
D
C
B
1
2
3
4
(1) 回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节
【回顾·反思】
(2) 对于证明思路的分析，你积累了哪些经验
① 弄清题设和结论；
② 根据题意画出相应的图形；
③ 根据题设和结论写出已知，求证；
④ 分析证明思路，写出证明过程.
归纳总结
平行线的性质
性质定理
命题证明步骤
两直线平行，同位角相等
根据题意画出图形
根据题意写出已知及求证
写出证明过程
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
课堂小结
1. 如图，若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是(　B　)
A. 130° B. 50°
C. 40° D. 150°
B
随堂练习
70　
3. 如图，直线AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，则∠E＝____.
65　
2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝_____.
4. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是_____.
25°　
5. [教材变式]如图，已知AB∥CD，求证：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
证明：如图，过点E向右作EF∥AB，
则有∠B＋∠BEF＝180°.
∵AB∥CD，
∴∠FED＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
∴EF∥CD.
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数．
解：∠BCA＝40°，∠DAC＝40°.
完成对应课时练习
作业布置

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