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第7章 证明
2　认识证明
第2课时　定理与证明
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我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？
探究新知
哦……那可怎么办
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
能不能根据已经知道的真命题证实呢
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
古希腊数学家欧几里得 (公元前 300 年前后) 编写了一本书，书名叫作《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题
作为证实其他命题的出发点和依据.
观看视频从教材 P186内容中梳理出下列词语的定义.
1. 原名：
2. 公理：
3. 证明：
4. 定理：
某些数学名词称为原名。
公认的真命题称为公理。
不需要证明。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
1. 原名：
2. 公理：
演绎推理的过程称为证明。
经过证明的真命题称为定理。
3. 证明：
4. 定理：
每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条：
2. 两点之间线段最短。
1. 两点确定一条直线。
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
基本事实
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行)。
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
SAS
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
ASA
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它
8. 三边分别相等的两个三角形全等。
SSS
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
其他哪些还可以作为公理
思考
例如：如果 a = b，b = c，那么 a = c， 这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.
如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”.
证实其他命题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
＋
归纳总结
从基本事实出发，我们能够如何证明已经探索过的数学结论呢？
定理：对顶角相等.
定理：同角 (等角) 的补角相等.
定理：同角 (等角) 的余角相等.
定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
试证明定理“对顶角相等”
例1 如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
A
C
O
D
B
典例精析
证明：
∴∠AOB 与∠COD 都是平角 ( ).
平角的定义
∴∠AOC 和∠BOD 都是∠AOD 的补角
∴∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵ 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )，
( ).
已知
补角的定义
因为
所以
A
C
O
D
B
(1) 已知：∠B 和∠C 是∠A的补角，求证：∠B =∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180° - ∠A，∠C=180° - ∠A，
∴∠B=∠C(等量代换)，
∴同角的补角相等.
试证明定理：同角 (等角) 的补角相等.
典例精析
(2)已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B 的补角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，
∴∠C = 180° - ∠A，∠D = 180° - ∠B，
∵∠A =∠B (已知)，
∴∠C =∠D (等量代换)，
∴等角的补角相等.
(3)已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C.
证明：
∵∠B和∠C是∠A的余角，
∴∠B = 90° - ∠A，∠C = 90° - ∠A，
∴∠B =∠C (等量代换)，
∴同角的余角相等.
定理：同角 (等角) 的余角相等.
(4) 已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，
∴∠C = 90° - ∠A，∠D = 90° - ∠B，
∵∠A=∠B(已知)，
∴∠C=∠D(等量代换)，
∴等角的余角相等.
1. 请证明定理“三角形的任意两边之和大于第三边”.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
练一练
A
B
C
证明：∵ AC 是以点 A、点 C 为端点的线段，
∴ AB + BC >AC.(两点之间线段最短)
同理可得 AB+AC >BC，BC+AC >AB.
A
B
C
定理与证明
定义
定理
公理
证明
作出明确规定的名词术语的含义
公认的真命题
演绎推理的过程
经过证明的真命题
课堂小结
B
随堂练习
1．下列说法正确的是 ( )
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
2. 下面关于“证明”的说法正确的是(　C　)
A. “证明”是一种命题
B. “证明”是一种定理
C. “证明”是一种推理过程
D. “证明”就是举例说明
C
3. 如图，MN⊥NP，ON⊥NP，所以MN与ON重合，推理的理由是____________________
__________________________________.
在同一平面内，过一点
有且仅有一条直线与已知直线垂直　
4. 如图，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
∴∠EOB＝ ∠AOB，∠BOF＝ ∠BOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，
∴∠EOB＋∠BOF＝ (∠AOB＋∠BOC)
＝ ×180°＝90°，即∠EOF＝90°.
∴OE⊥OF.
5．已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，
∴∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°.
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
完成对应课时练习
作业布置

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