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2025-2026学年云南省玉溪市第一中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
5.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角、、的对边分别是、、，且，，，则的外接圆直径为．
A. B. C. D.
8.设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列叙述正确的是( )
A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则
C. 若，则 D. 与共线的单位向量
10.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点，分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 当，分别为线段，中点时，，
B. 取得最小值
C. 当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为
D. 对任意点，平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域是______．
13.已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切设圆锥的体积、表面积分别为，，球的体积、表面积分别为，，则 ．
14.设函数若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩均为整数分成六组，，，后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
求分数在内的频率；
估计本次考试的平均分；
用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段内的概率．
16.本小题分
在中，，是边上的中线．
求的面积；
求中线的长．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，侧面面．
求证：面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
设函数．
若不等式的解集，求，的值；
若，
，，求的最小值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元为了节能环保，决定修建一个可使用年的沼气发电池，并入该合作社的电网修建沼气发电池的费用单位：万元与沼气发电池的容积单位：米成正比，比例系数为为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费单位：万元与修建的沼气发电池的容积单位：米之间的函数关系为为常数记该合作社修建此沼气发电池的费用与年所消耗的电费之和为单位：万元．
解释的实际意义，并写出关于的函数关系；
该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值．
要使不超过万元，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：由题意可知，，，，
则，化简整理可得，，解得，
故的面积为；
为中点，
则，
故AD，解得．
17.【答案】解：证明：由菱形，
平面平面，平面平面，又正方形中，，
平面，，，，平面，
平面，
过作于，侧面面，侧面面，
平面过作于，连，
则，，故BB平面，所以，
故为二面角的平面角，在中设，，，
，，，，
二面角的余弦值为．
18.【答案】解：由的解集是知，是方程的两根，
由根与系数的关系可得，解得；
由得，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
不等式在上恒成立，则在上恒成立，
即恒成立，，
解得，
实数的取值范围是．
19.【答案】解：的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费，
由，得，
；
，当且仅当，即时取等号．
该合作社应修建容积为米的沼气发电池，可使最小，最小值为万元；
由，得，
解得：．
的取值范围为
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