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2025-2026学年四川省达州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2.从，，，这个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.若为的边的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则，可能平行、异面或者相交
B. 若，，则与可能平行、相交或者
C. 若，，则
D. 若，，则
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，三棱锥的体积为，则正方体的棱长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数，对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 复数对应的点在第一象限
C. 当时，复数为纯虚数 D. 向量对应的复数为
10.已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，互斥，则 B. 若，互斥，则
C. 若，独立，则 D. 若，独立，则
11.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方体的内切球体积为，则该正方体的外接球体积为 ．
13.已知向量，，在网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ．
14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角角度用弧度制例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为在底面为矩形的四棱锥中，底面，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，为的中点．
求证：平面；
求圆锥的表面积．
16.本小题分
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．
试估计全市参赛者成绩的第百分位数保留小数点后一位和平均数单位：分；
若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为的样本，再从这人中随机抽取两人求抽取的两人都及格大于等于分为及格的概率．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．
求证：平面平面；
若平面，求；
当取得最小值时，求二面角的余弦值．
19.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点在中，角，，的对边分别为，，，且若是的“费马点”，．
求角；
若，求的周长；
设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明见解析；
．
16.【答案】，则，
；，
故百分位数在，
则百分位数为，
平均数为；
因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为：
，
，
，
从这人中随机抽取两人，
记中抽取的人编号为，
抽取的人编号为、，
抽取的人编号为、、，
记事件“抽取的两人都及格”，
，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
，，，，，，，，，，
所以，
所以．
17.【答案】；
．
18.【答案】解：证明：在四棱锥中，
因为平面，平面，所以．
因为四边形为菱形，所以．
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
连接，如图所示：
因为平面，平面，平面平面，
所以．
因为是中点，所以是中点．
因为平面，，
所以到平面的距离．
因为在菱形中，，，
所以，
所以．
由知：平面，
因为平面，平面，平面，
得，，，
故即为二面角的平面角．
当取得最小值时，有，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为在菱形中，，，
所以
，，
又因为，
所以，
又因为在中，，
所以．
则在中，，
所以二面角的余弦值为．
19.【答案】解：根据，结合正弦定理得，
结合，化简得，即，
由于，，所以，所以．
设，
则．
所以，由，
得，解得，
由余弦定理，得，即，整理得，
联立，结合，解得，，所以的周长为．
设，
根据的结论，在，，中，由余弦定理得，
三个式子相加，得，结合解得，
所以，可得，
结合题意，
代入数据可得，即，令，，
由对勾函数的性质，可知在上单调递减，
因此，，即的取值范围为．
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