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河南名校联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径单位：服从正态分布若，且，则下列描述正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等边三角形”的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱中，为的中点，则下列结论正确的有( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10.下列说法正确的是( )
A. 随机变量，则方差
B. ，，，，，，，的下四分位数是
C. 若两个随机事件，相互独立，满足，，则
D. 一副扑克中有红桃共张牌，将，，称为花牌，其他称为数字牌，甲、乙依次不放回地从一副张牌中各任取两张牌，甲抽到的花牌比乙抽到的花牌多的概率小于
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 设有个不同的零点，则
D. 对任意正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布列为，其中为常数，则实数 ， ．
13.设，，若函数满足，且，则 ．
14.已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是奇函数，且
求和的值；
若，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的最大值．
17.本小题分
某现代农业产业园集中储存各类经济作物，仓储恒温保鲜设备每日出现故障的概率为，若园区引入一套智能仓储检测系统：设备正常运转时，检测出正常的概率为；设备发生故障时，系统检测出故障的概率为，每日检测结果相互独立．
求某日检测结果与设备实际状态不符的概率；
连续天监测，求恰有天检测结果与实际不符的概率；
若使用该系统时，系统每日基础运维费元；检测出故障需花费元检修；检测正常但设备实际故障，会造成经济作物变质，单日损失元已知不使用该系统时，每日故障损失期望为元判断是否引进该系统，并说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若，判断的单调性；
若，证明：．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且．
求的方程；
点是直线：上的一点，直线交于另外一点异于点，直线交于另外一点．
(ⅰ)求证：直线经过定点；
(ⅱ)记和的面积分别为，，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解： 的定义域为，又为奇函数，则．
又，即，解得．
则，
由，则，满足条件．
由知，
，均在上单调递增，
在上单调递增．
在时恒成立，是上单调递增的奇函数，
所以，即在时恒成立，
，成立，此时，时，得到．
且令，即在时恒成立．
又，当且仅当时等号成立，
即，故．

16.【答案】解： 在中，由及正弦定理，
得，
而，则，所以．
由知，由余弦定理得
，
解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．

17.【答案】
应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出即总损失为元，
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则，
，
应该引进该系统
18.【答案】解： 当时，函数的定义域为，且，
因为，在上单调递增，，
则在上单调递增，且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为的定义域为，
且，，
可知在上单调递增，且，，
可知存在，使得，即，
当时，，当时，，
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，则，
可知在上单调递减，
则，
所以．

19.【答案】解： 椭圆的左、右顶点为，且，，解得．
椭圆离心率，，
，
椭圆的方程为．
证明：由题可知，，设，．
当时，直线的方程为，
联立，消去整理得，
已知是方程的一个根，设，由韦达定理得，
，代入直线方程得，即．
同理，直线的方程为，
联立，消去整理得，
已知是方程的一个根，设，由韦达定理得，
，代入直线方程得，即．
．
直线的方程为．
整理得
，
当时，，即直线过点．
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
由韦达定理得，．
，，其中为到直线的距离，为到直线的距离，
计算得，，，
．
，
．
令，，则，代入得．
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以当时，取得最小值，取得最大值．
即的最大值为．

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