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广东广州市越秀区部分校2025-2026学年第二学期期末调研
高二年级数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列为
若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 函数在区间内单调递减 B. 是函数的极大值点
C. 导函数在区间内单调递减 D. 是导函数的极小值点
5.将一枚质地不均匀的硬币连续抛掷次，表示“硬币正面朝上”出现的次数．已知，，则( )
A. B. C. D.
6.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了甲、乙两组试验，得到如下两个列联表：
表 甲组 表 乙组
药物 疾病 合计 药物 疾病
未患病 患病 未患病 患病
未服用 未服用
服用 服用
合计
根据表的甲组数据计算得到根据表的乙组数据与下表中的参考数据，下列推断正确的是( )
A. 根据小概率值的独立性检验，可以认为药物对预防疾病没有效果
B. 根据小概率值的独立性检验，可以认为药物对预防疾病有效果
C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为药物对预防疾病有效果
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为药物对预防疾病有效果
7.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
8.若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和公式为，则( )
A. B. C. D. 是等比数列
10.已知随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，只有一个零点
B. 当时，有两个极值点
C. 当时，过点可作曲线的三条切线
D. 若曲线有三个不同的零点，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程是
13.甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第次由甲将球传出，则次传球后球在丙手中的概率为 ．
14.将本不同的书放入个编了号的抽屉，记为这个抽屉中放有书的抽屉的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极小值．
求实数的值；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
设某幼苗从观察之日起，第天的高度为单位：，测得的一些数据如下表所示：
第天
高度
补充完整下面的散点图，并根据散点图判断，与哪一个适宜作为关于的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由；
根据的判断结果及表中数据，建立关于的经验回归方程，并预测该幼苗第天的高度结果用最简分数表示．
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列是等比数列；
已知数列满足，若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
18.本小题分
从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
求这件产品质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该区间的中点值作代表；
已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(ⅰ)利用该正态分布，求；
(ⅱ)某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用(ⅰ)的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由．
附：若，
则，．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，求实数的取值范围；
设为整数，且对于任意不小于的正整数，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，求导得．
由得，解得或．
当时，，
在左侧附近，右侧附近，故为极小值点，符合题意．
当时，，
在左侧附近，右侧附近，为极大值点，舍去故．
由知，．
在内令得或．
计算，，，，比较知最大值为，最小值为．

16.【答案】解：散点图略，适宜作为关于的回归方程类型．
理由：观察散点趋势，随增长速度逐渐放缓，与不呈现明显线性相关关系，因此选择更合适．
令，则原方程转化为关于的线性经验回归方程．
由题中数据，，计算得，，
，，
代入最小二乘公式得，，
替换回，得到关于的经验回归方程．
当时，，代入得．
即预测该幼苗第天的高度为．

17.【答案】解：已知数列的前项和为，且，
当时，，，解得，
当时，有，两式相减，得，
所以，即，
又因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由可知，，所以，
数列的前几项为，，，，，，，
所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列，
即，所以数列为，
所以数列除外，其余项均在数列中，
由于，，，即，
所以数列的前项中包含的项有，共项，因此还需往后找个非的项，
由于，因此要剔除，是接下来的个项，
因此的值等于数列的前项和减去，
即．

18.【答案】解：由题意得；
由题意得，，，
，，
，，
所以
，
(ⅱ)由题意得，其中，
所以，
所以，
令，解得，
当时，，；
当时，，，
所以时，最大．

19.【答案】解：，若，则，则在上单调递增；
若，则得，单调递减；
得，单调递增；
综上，若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在上单调递增．
若，则，不符合题意；
若，则，不符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，则，
因为在上单调递减，且，则，
综上，实数的取值范围为；
由可知，当时，
则，等号成立时，则，
则，，
因为，所以，
则的最小值为

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