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河南省开封市五校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.根据下表数据得到关于的线性回归方程，则( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在某市年月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市学生有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第 参考数据：，则，
A. 名 B. 名 C. 名 D. 名
6.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知数列是首项和公比均为的等比数列，在数列的任意相邻两项与其中之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前项的和( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是幂函数，则( )
A. B. C. D. 是奇函数
10.关于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共项 B. 含项的系数为
C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为
11.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则( )
A. 维“立方体”的顶点有个 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班人含学生甲站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为 ．
13.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 ．
14.已知的定义域为，且，对于任意正数，，都有，若当时，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示：
满意 不满意 合计
大一或大二
大三或大四
合计
根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联；
从样本中对食堂满意的学生中随机抽取人，求这人均是大三或大四学生的概率．
附：，．
16.本小题分
已知函数的图象过点和点．
求实数，的值；
求函数的值域．
17.本小题分
在数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干每个袋子中标号为的小球有个，标号为的有个，标号为的有个从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是．
求的值；
从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是，求另一个标号也是的概率；
从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望．
19.本小题分
已知函数
当时，求曲线在处的切线方程；
若在上的最大值为，求的值；
若，恒成立，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】有关
16.【答案】解： 由题意得，即
解得．
由知，所以的定义域为．
法一：由得，
令，当时，，
当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以，
所以的值域为．
法二：由题意可得，
当时，，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，即，
所以的值域为．

17.【答案】解： 在数列中，，，则，即，
因此数列是公差为的等差数列，
又，则，
所以数列的通项公式．
由知，
所以数列的前项和．

18.【答案】解：甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干，
每个袋子中标号为的小球有个，标号为的有个，标号为的有个，
从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是，
从一个袋子中任取两个球的总组合数为，
取到两个标号为的球的组合数为．
则取到的标号都是的概率是，
整理得，解得或舍去，
设事件表示“其中一个标号是”，事件表示“另一个标号也是”．
，，
．
的可能取值为，，，，，
从袋子中取个球，编号为，，的概率分别为，
，
，
，
，
，
的分布列为：
．
19.【答案】解： 当时，，，所以，
所以切线方程为，即；
定义域为，；
当时，在区间上，，所以在上单调递减，
所以，由解得，符合题意；
当时，在区间上，，所以在上单调递增，
所以，由解得，符合题意；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
由解得或，均不符合题意，
所以的值为或．
由恒成立，即恒成立．
令，则恒成立．
，
当即时，，所以在单调递增，
当时，，所以不满足恒成立；
当即时，令，解得；
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，
若恒成立，则，即，
则．
令，则，设，
则，令，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即最大值为．

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