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2025-2026学年福建省福州市鼓楼区六校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校义工社团共有人，其中男生人若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则为整数的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为( )
A. 若，则与相互对立
B. 若，则
C. 若事件与相互独立，则
D. 若事件与相互独立，则
5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.设为单位向量，在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.九章算术商功中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 若一组样本数据，，，，，的极差为，则实数的取值范围为
C. ，，，和，，，的方差分别为和，若，则
D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为，抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生数学成绩的方差为
10.已知，，下列说法中正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
11.正方体的棱长为，点为线段上一动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与直线所成的角为
C. 在点运动过程中，有
D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为 米保留根号
13.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判，则前局中乙恰好当一次裁判的概率是 ．
14.已知圆的半径为，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．
若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，设点在线段上，证明：直线平面．
16.本小题分
在中，，，三个内角所对的边分别为，，已知，，求，
若，求．
若为角平分线，求的取值范围．
17.本小题分
某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取件，测得产品质量差质量差生产的产品质量标准质量，单位：的样本数据统计如下．
求的值；
公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品其中，分别为样本平均数和样本标准差．
根据计算可得，若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由；
(ⅱ)若公司包装时要求，件一等品和件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出件产品进行检验，求摸出件产品中至少有件一等品的概率．
18.本小题分
已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为．
求的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．
求证：平面平面；
当时，求直线与平面所成角的正弦值；
当时，求二面角的正切值的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】； 证明见解答．
16.【答案】
17.【答案】；
该产品属于一等品，理由见详解；

18.【答案】解：
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，所以，解得，
所以，
令，则，
所以的单调递减区间为，；
由知，，
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得：，
令，，则，
所以，因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是．
19.【答案】证明见解析；
；
．
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