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2025-2026学年河北省廊坊市大城县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
5.在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒：：：现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取粒豌豆作为样本进行研究若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论期望数量为粒，则样本量应为( )
A. B. C. D.
6.若样本数据：，，，，的平均数为，则此样本的第位数为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两名同学为了参加“一二九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，，，且各项目的对抗练习结果相互独立则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为( )
A. B. C. D.
8.祈年殿图是北京市的标志性建筑之一，距今已有多年历史殿内部有垂直于地面的根木柱，分三圈环形均匀排列内圈有根约为米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有根约为米的金柱，代表十二个月；外圈有根约为米的檐柱，象征十二个时辰已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体图中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为
10.下列说法正确的是( )
A. 若事件与事件相互独立，，，则
B. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
C. 一个盒子中有个黑球，个白球，个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D. ，，，，，，这个数的上四分位数是
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为四边形内包括边界一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥体积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 ．
13.在直棱柱中，底面是边长为的正方形，点是线段上的点，且，则点到平面的距离为 ．
14.在中，是边的中点，是线段的中点，设，试用，表示为 ；的面积为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
公园内有一块三角形绿地，其中米，米，绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点．
求扇形花卉景观的半径，以及面积；
为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形如图，其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长．
16.本小题分
如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点沿将翻折，折成三棱锥，如图．
当三棱锥的体积最大时，证明：；
若棱上存在一点，使得平面，且，求实数的值；
当平面平面时，求三棱锥的外接球的表面积．
17.本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
求角；
若为边上一点不包含端点，且满足；
若，，求的长；
求的取值范围．
18.本小题分
为了解学生对，两家餐厅的满意度情况，现从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分分数区间为，将其分数记为满意指数根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有人．
求图中，的值，并估计餐厅满意指数的中位数；
利用样本估计总体的思想，比较，两家餐厅满意指数的平均数的大小；计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
现采用分层抽样的方式从餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取人，再从这人中，随机抽取人进行访谈，请写出样本空间，并求这人来自相同组的概率．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，的中点分别为，，，，，点在上，．
证明：平面；
证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】， ，
16.【答案】证明：因为平面四边形中，是等边三角形，且，
又是的中点，且翻折后为三棱锥，
设到平面的距离为，
所以，
所以，
故要使三棱锥的体积最大，则最大，
所以当的投影在棱上时，最大，
且，此时平面，平面，
所以，又，，
所以平面，平面，
所以
17.【答案】 ；
18.【答案】，，餐厅满意指数的中位数为
餐厅满意指数的平均数更高
样本空间为，，，，，，，，，
，，，，，，概率为
19.【答案】证明：由，的中点分别为，，则，
而平面，平面，
故平面 证明：由，，，
则，
又，显然为的中点，则，，
由，的中点分别为，，则，所以，
由的中点为，则，且，
所以，，又，
所以，则，
故EF，
由，，
所以在和中，而，
所以，
故BF，
又且，平面，
则平面，由平面，
则平面平面
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