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2025-2026学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（二）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二项式的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
2.某社区有老年居民人、中年居民人、青年居民人若采用分层抽样的方法随机抽取部分居民进行社区服务满意度调查，抽取的样本包含中年居民人，则抽取的样本包含老年居民的人数为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和是，则( )
A. B. C. D.
4.已知件产品中有件次品，其余为合格品若从这件产品中随机抽取件，则恰有件次品的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为( )
A. 石 B. 石 C. 石 D. 石
7.生鲜超市分拣员整理货品，现有种水果，种蔬菜，从中任选种货品打包礼盒，要求礼盒中水果、蔬菜都不能少于种，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知随机变量的分布列如表：
则 ．
12.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则 ．
13.若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是 ．
14.有张座位编号分别为，，，，，的电影票，若平均分给人，每人张，则不同的分法共有 种；若分给人，每人至少张，至多张，且这张票具有连续的编号，则不同的分法共有 种
15.已知数列，满足：给出下列四个结论：
若，则数列有最小值；
若，则数列有最小值；
若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列；
若，且，则有．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某班级有名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表：
性别 团员 非团员 合计
男生
女生
合计
从该班级里随机选名学生参加演讲比赛：
Ⅰ求选到女生的概率；
Ⅱ如果已知选到的是团员，求选到的是女生的概率．
17.本小题分
已知等比数列中，公比，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列是等差数列，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使数列存在，设，求数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
18.本小题分
我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为，若不计壁厚，设该粮仓容积为，圆柱的底面半径为．
Ⅰ写出与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
Ⅱ求该粮仓容积的最大值．
19.本小题分
某教育部门为了解中学生校园阅读满意度，连续年年至年每季度开展调查，将调查结果数据编制成阅读满意度指数指数越大表示满意度越高，规定指数时，为不满意区间，指数时，为满意区间该市年至年各季度阅读满意度指数如表：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
阅读满意度指数
阅读满意度指数
阅读满意度指数
假设每个季度阅读满意度指数相互独立用频率估计概率．
Ⅰ从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度处于满意区间的概率；
Ⅱ从年和年共个季度中，随机抽取个季度，记其中阅读满意度指数处于满意区间的季度个数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ从年个季度中随机抽取个季度，记为该季度阅读满意度指数，从年个季度中随机抽取个季度，记为该季度阅读满意度指数，比较数学期望与的大小结论不要求证明
20.本小题分
已知函数，，．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线方程；
Ⅱ当时，讨论函数在上的单调性；
Ⅲ若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知数集，具有性质：对任意的，，，使得成立．
Ⅰ分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ已知，求证：；
Ⅲ若，求数集中所有元素的和的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一，任意大于的实数均可
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】为；
选条件，不是等差数列，不符合题意；选条件，；选条件，．
18.【答案】函数解析式为，定义域为
粮仓容积的最大值为
19.【答案】

20.【答案】
当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减

21.【答案】解：Ⅰ，不具有性质；
，，，具有性质；
证明：Ⅱ集合具有性质，
即对任意的，，，使得成立，
又，，
，
即，，，，，，
将上述不等式相加得，
，由于，
，；
解：Ⅲ最小值为．
首先注意到，根据性质，得到，
易知数集的元素都是整数，
构造或者，
这两个集合具有性质，此时元素和为；
下面，证明是最小的和：
假设数集，，满足存在性显然，满足的数集只有有限个，
第一步：首先说明集合，中至少有个元素：
由可知，，
又，，，，，，
；
第二步：证明，，
若，设，，为了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，从而，
假设，根据性质，对，有，，使得，
显然，，
而此时集合中至少还有个不同于，，的元素，
从而，矛盾，
，进而，且，
同理可证：，
同理可以证明：若，则，
假设，
，根据性质，有，，使得，
显然：，
而此时集合中至少还有个不同于，，，的元素，
从而，矛盾，
，且，
至此，我们得到了，，
根据性质，有，，使得，
我们需要考虑如下几种情形：
，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则，
，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则，
，，此时集合的和最小，为，
，，此时集合的和最小，为．
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