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湖南省张家界市永定区2026年春季学期八年级期末教学质量监测试卷·数学
一、单选题
1．一次函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
4．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（ ）
A．若小王家某月用水，则当月水费为20元
B．若小王家某月水费为42元，则当月用水量为
C．若当月不用水，则不需要支付费用
D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多元
5．某校学生诗词争霸赛中，7位评委对其中一位选手的打分为：96，92，96，94，95，88，96．这组数据的众数是（ ）
A．92 B．94 C．95 D．96
6．如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，直线经过平移得到直线，则平移的方式正确的是（ ）
A．向上平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向下平移4个单位长度
8．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
9．如图，平行四边形的对角线，相交于点．为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2026次跳动到点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一次函数的图象不经过第二象限，请写出一个满足条件的m的值：______．
12．若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”）
13．若函数在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．
14．某山地地区地面气温为，海拔每升高气温下降．该地区距离地面高度为处的气温为，则与的函数关系式是___________．
15．点，关于轴对称，则___．
16．如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为_________，最小值为_________．
三、解答题
17．（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数为n．
（2）此时该多边形的对角线共有多少条？
18．已知与成正比例关系，且当时，．
(1)求出与之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数的图象上，求的值．
(3)若的取值范围为，求的取值范围．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．
(1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)直接写出体育场，市场，超市的坐标；
(3)已知游乐场与图书馆相距3个单位长度，轴，，请在图中标出，的位置，并写出点坐标．
20．如图，点为的边的中点，点为上的一点，连接并延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是的角平分线，求证：四边形是矩形．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1．
(1)求直线的表达式；
(2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
23．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 a 70
八年级 m b c
(1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩m；
(3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数；
(4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明．
24．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：．
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接．
（ⅰ）求证：．
（ⅱ）若正方形的边长为，求的值．
参考答案
1．D
解：∵对选项A，当时，，
∴A错误；
∵对选项B，当时，，
∴B错误；
∵对选项C，当时，，
∴C错误；
∵对选项D，当时，，坐标满足解析式，
∴图象一定经过点.
2．B
解：∵一次函数中，，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限．
3．D
解：对边平行，对边相等，对角线互相平分都是平行四边形和矩形共有的性质，故A，B，C不符合要求．
对角线相等是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，故D符合要求．
4．D
解：当时，设当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数关系式为，
把点代入得：
，解得：，
∴当时，设当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数关系式为，
当时，同理当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数关系式为，
当时，，
即小王家某月用水，则当月水费为30元，故A选项错误；
当时，，
解得：，
即小王家某月水费为42元，则当月用水量为，故B选项错误；
当时，，即当月不用水，则需要支付费用10元，故C选项错误；
∵，
∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多元，故D选项正确；
5．D
解：∵88，92，94，95各出现1次，96出现3次，
∴96是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是96．
6．C
解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，
∴点与点关于原点中心对称，
∵，
∴点的坐标为．
7．D
解：A、直线向上平移4个单位长度得到，不符合题意；
B、直线向右平移4个单位长度得到，不符合题意；
C、直线向左平移2个单位长度得到，不符合题意；
D、直线向下平移4个单位长度得到，符合题意；
故选D．
8．C
解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3，
∴，
将该组数据从小到大排序为 ，
∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，
∴该组数据的中位数为4．
9．D
解：∵，，
∴，
∴，故①正确，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
又∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，故②正确，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
在中，点为的中点，
∴，
∴四边形是菱形，故③正确，
∵点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的结论为①②③④．
10．B
解：由题意得，，，，，，，，
……
，
∵，
∴的坐标为．
11．2（满足且即可）
解∶函数的图象不经过第二象限，
，
，
函数是一次函数，
，
，
取（满足且即可）．
12．
解∶在一次函数中，，
随的增大而增大，
点和，且．
∴．
13．
解：由题意，，
，
实数的取值范围是．
故答案为：．
14．
解：该地区距离地面高度为处，气温下降，
．
15．
解：点，关于轴对称，
，，
．
16．
解：连接，交于点，连接，，取中点，连接，过点作于点，
，
四边形为菱形，
，，，，，，，
，，
在中，，，
，
，
是中点，，分别是，中点，是中点，，，
，，，，，，
、G、O三点共线，即，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
当G与N重合时，最小，值为．
17．（1）；（2）20
解：（1）由题意可得，
解得：．
（2）根据题意得：．
所以该多边形的对角线共有20条．
18．(1)
(2)
(3)
（1）解：设，
当时，，
，解得，
，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为，
把点代入，得，
解得；
（3）解：由（2）知，当时，，
当时，，
解得，
当的取值范围为时，的取值范围为．
19．(1)见解析；
(2)体育场；市场；超市；
(3)见解析，或．
（1）解：平面直角坐标系如图所示：
（2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市
（3）解：如图：
轴，，
点的横坐标与点相同，为1．
又与相距3个单位长度，
当在上方时，点的纵坐标为，即，
当在下方时，点的纵坐标为，即．
综上，点坐标为或．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）证明：∵是的角平分线，
∴，即
∴平行四边形是矩形．
21．(1)
(2)点的坐标为或
（1）解：将代入得，
点的坐标为．
将点代入中，得，
解得，
所以，函数表达式为；
（2）解：∵一次函数为，
当时，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴设，
∵的面积与的面积相等，
∴，
①当点D在第二象限时，即时；
∵，
∴，
解得，
∴点D的坐标为；
②当点D在第四象限时，即时；
∴，
解得：，
∴点D的坐标为，
综上所述点D的坐标为或．
22．(1)每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元
(2)①（，且x为正整数）；②该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，，最大利润是13300元
（1）解：设每台A型电脑的销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得：，
∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴，
解得：，
∵，且x为正整数，
∴，
∴y与x的关系式为（，且x为正整数），；
②∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，此时（台）．
答：该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，最大利润是13300元．
23．(1)90，93；
(2)八年级所抽取学生的平均成绩为87分
(3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人
(4)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好
（1）解：∵共有12个数据，
∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，
∴八年级所抽取学生的中位数；
∵93出现的次数最多，
∴八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如图；
（2）解：（分），
答：八年级所抽取学生的平均成绩为87分；
（3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人），
答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人；
（4）略
24．(1)证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
；
(2)（ⅰ）证明：如图，在正方形中，作于点，于点，
，
四边形为矩形，
在正方形中，平分，且，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（ⅱ）．
【详解】（1）略；
（2）（ⅰ）略；
（ⅱ）四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
正方形的边长为，
，
的值为．

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