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吉林省吉林市第五中学2025-2026学年度七年级下学期期末考试数学
一、单选题
1．的值等于（　　）
A．2 B． C． D．
2．如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查全国中学生的视力和用眼卫生情况
B．调查超市售卖的草莓农药残留是否超标
C．调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
4．若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若，则__________．
8．在平面直角坐标系中，点 P(6－2x，x－5)在第二象限，则 x 的取值范围是_____．
9．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为_______．
10．将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为______．
11．如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____．
三、解答题
12．计算：；
13．解方程组：
14．解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得_________；
(2)解不等式②，得_______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为．
(1)写出点的坐标： ， ， ；
(2)画出三角形；
(3)写出三角形的面积为 ．
16．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
17．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？
18．为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩不低于60分）分成4组（A：，B：，C：，D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析， ；
(2)请补全频数分布直方图，扇形的圆心角的度数为 °；
(3)若竞赛成绩在分及分以上的学生获奖，该校共有名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约有多少人？
19．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的值．
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点是“龙沙点”，求的值：
(3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点”
21．综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．
【探究发现】
如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E．
（1）若，则的度数为 ；
（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数．
22．活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线．
(1)根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；
(2)点分别是图象上的点．
①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由．
②点R在坐标轴上，当时，，求出R的坐标．
试卷第6页，共6页
《吉林省吉林市第五中学2025-2026学年度七年级下学期期末考试数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A C B D A
1．A
解：，
故选：A．
2．A
解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是．
3．C
解：A、调查全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A不符合题意；
B、调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，最适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况，最适合采用全面调查，故C符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合采用抽样调查，故D不符合题意．
4．B
解：不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选：B．
5．D
解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意，
由得，则B成立，不符合题意，
若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意，
若，当时，，则D不一定成立，符合题意．
6．A
解：如图所示：延长交于点F，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∴，
故选：A．
7．0
解：∵，
∴．
故答案为：0
8．x>5；
由题意得
解得x>5，
则x 的取值范围是x>5.
9．
解：把代入，得
，
∴．
10．
解：如图
∴，
由折叠的性质可得：
∵
∴ ．
11．
解：点A表示的数为，
，
于点O，
是等腰直角三角形，
，
由题意得，，
数轴上点C表示的数为，
故答案为：．
12．
解：
.
13．
解：∵，
∴得：，
∴，
把代入①，得，
解得：
∴方程组的解为．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：解不等式①，得：
（2）解不等式②，得：
（3）略
（4）由数轴可知：原不等式组的解集为：，
15．(1)，，
(2)图见解析
(3)7
（1）解：∵点的对应点为，
∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，，
∴，，，
即，，．
（2）解：画出三角形如图所示：
．
（3）解：三角形的面积为．
16．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
17．(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元；
(2)最多能买A型机器人台．
（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，
由题意得，
解得，
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元；
（2）解：设买A型机器人台，则买B型机器人台，
由题意得，
解得，
答：最多能买A型机器人台．
18．(1)200；36
(2)见解析，
(3)人
（1）解：随机抽取的学生的竞赛人数为：人，
，
；
（2）解：C等级学生有：人，
补全的频数分布直方图，如图所示：
扇形的圆心角的度数为，
（3）解：人，
答：估计获奖的学生大约有人．
19．(1)5，
(2)1
(3)
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是．
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，即，
∴的整数部分，
∴
；
（3）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是12，小数部分是，
∵，其中x是整数，且，
∴，
∴．
20．(1)
(2)或
(3)说明见解析
（1）∵点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，
∴点到轴的距离为：；到轴的距离为，
∴点的“长距”为．
故答案为：．
（2）∵点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”，
∴当点是“龙沙点”，，
∴，
当，解得：；
当，解得：；
∴或．
（3）∵点的长距为，
∴，
解得：或；
∵在第二象限内，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴点，
∵，
∴点是“龙沙点”．
21．（1），（2），（3）或
解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图3，过点C作，
，
，
，
，，
，
则；
②如图，过点A作，直线与交于点，
∵与交于，
∴，
，
，
，
，
，
故的度数为或．
22．(1)见解析
(2)①是定值，值为2．②或或
（1）解：令中的分别等于零，得到，连接两点即可得到图象；
令中的分别等于零，得到，连接两点即可得到图象，如图所示：
（2）解：①把点代入，得：，
∴，
把点代入，得：，
∴，
，
是定值，值为2．
②当时，，，
（i）当点R在x轴上时，
，，
，
或，
（ii）当点R在y轴上时，
∵，，设直线的解析式为：，
∴
解得：
∴直线的解析式为：，
∴直线与y轴的交点为，
，
∴,
∴，
解得：,
或，
∴综上所述，或或
答案第10页，共11页
答案第11页，共11页

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