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四川省甘孜州2026年中考数学真题
1．下列各数中，最小的是（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
最小的数是．
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，负数小于零比较大小解答即可.
2．左图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱
∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形
∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆．
故答案为：A.
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此解答即可．
3．某人在一轮射击训练中共射击7次， 成绩为（单位：环）： 7， 8， 8， 9， 9， 10， 10.则该轮射击训练成绩的中位数是（　　）
A．7环 B．8环 C．9环 D．10环
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵ 7次射击成绩已经按从小到大顺序排列，数据个数是奇数，
∴ 中位数为排序后第个数据，
∵ 第4个数据为9，
∴ 该轮射击成绩的中位数是9环．
故答案为：C.
【分析】中位数是吧一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数，据此解答即可.
4．在平面直角坐标系中，点M（－1，1）向右平移2个单位长度，所得点的坐标为（　　）
A．（－1， 3） B．（－1， － 1）
C．（－3， 1） D．（1， 1）
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点向右平移2个单位长度，纵坐标不变，
∴横坐标为，纵坐标为，所得点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”计算即可得到结果．
5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形；是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形；不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．－2（a－1）＝－2a+1 D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误．
B、，∴B正确．
C、，∴C错误．
D、，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】运用合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式法则逐项判断选项．
7．如图，MN，EF 分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜面MN上，反射光线为 BC， 再经镜面EF反射得到光线CD， 若∠1＝60°， 则∠4＝ （　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由光的反射定律可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据反射定律可知，然后根据两直线平行，内错角相等求出的度数解答即可．
8．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随着时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状可能是下图中（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】由函数图象可知，折线分为三段，且增长速度逐渐增大，
注水速度是匀速的，水面上升的速度与容器的粗细（横截面积）有关，容器越细，水面上升越快，图象越陡，
段最平缓，说明容器中部最粗；段较陡，说明容器底部部较细；段最陡，说明容器上部最细，
只有D选项的容器符合中部最粗、下部次之、上部最细的特征．
故答案为：D.
【分析】根据注水速度一定时，横截面越大，水面高度上升越慢分析函数图象解答即可．
9．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问；人与车各几何 其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少 设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，辆车，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设有人，辆车，根据“ 3人坐一辆车，两辆车是空的；人坐一辆车，则9人需要步行 ”列方程组即可.
10．对于抛物线 以下说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5
C．顶点坐标为（5， 4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
顶点坐标为，故C错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线；
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线顶点式的性质逐项判断即可．
11． 比较大小： 2　 　. （填“＞”， “＜”或“＝”）
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：>.
【分析】利用无理数的估算比较大小即可．
12．方程的解为　 　．
【答案】x＝7
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：.
【分析】方程两边同时乘以(x-4)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可.
13． 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝28°， 则∠O＝　 　度.
【答案】56
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
．
，
．即．
故答案为：56.
【分析】根据圆周角定理解答即可.
14．如图， 在平行四边形 ABCD（AB＜AD）中， 按如下步骤作图：①以点 A 为圆心， 以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点 M，N；②分别以点 M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD 内交于点 P；③作射线AP交BC于点 E. 若AB＝3， EC＝2， 则AD的长为　 　.
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5.
【分析】根据平行四边形的性质可得，由作图可知平分，即可得到，进而可得，利用等角对等边得到，根据线段的和差解答即可．
15．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算绝对值、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
16．化简：
【答案】解：
＝x+1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先运算括号内分式的加减，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简解答即可.
17．某校为下一学期更好地开展丰富多样的社团活动，现对该校学生就“社团活动的喜爱情况”进行抽样调查.设计如下调查问卷.
调查问卷 在下面四类社团活动项目中，你最喜爱的是（　　）.（每人只选一项） （A）舞蹈 （B）篮球 （C） 书法 （D） AI知识学习
所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）.
请根据图中的信息，解决下列问题；
（1）此次调查一共抽取了 ▲ 名学生，补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，请估计喜爱“AI知识学习”的学生人数；
（3）为了更好地开展下一学期的社团活动，请根据上述统计图中的信息，向学校提出一条合理的建议.
【答案】（1）解：18 ，
条形统计图：
（2）解：（人）；
（3）解：根据统计图中的信息，喜欢“AI知识学习”的学生最多，可以扩大社团规模，更多地提供这方面的条件资源
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由舞蹈社团信息可知，总人数为：（人），
则喜欢篮球的人数为：（人），
故答案为：18；
【分析】（1）由舞蹈社团的人数除以占比求出考查人数，再根据考查人数减去其他社团人数求出篮球社团人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校总人数乘以样本中喜爱知识学习的学生人数占比即可；
（3）根据统计图信息，提出合理建议即可.
18．“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度.某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A，B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶 C 处的仰角为 45°， B， C 间的距离为 600 米.求山高 CD. （参考数据： 计算结果取整数.）
【答案】解：在Rt△ABF中，BF＝AB sin53°≈400× ＝320（ 米）
在Rt△BCE中， CE＝BC sin45°＝600×≈600×0.707＝424（米），
由题意可知，四边形DEBF为矩形，
∴DE＝BF＝320米，
∴CD＝CE+ED＝744 （米）
答：山高CD为744米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】再Rt△ABF和Rt△BCE中，根据正弦的定义求出BF和CE长，然后根据矩形的性质和勾股定理解答即可.
19． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数 的图象交于A（－2，n），B两点.
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标.
【答案】（1）解：A（－2， n）在反比例函数y＝ 的图象上，
则A（－2，－2），
点A（－2， －2）在正比例函数y＝ kx（k≠0）的图象上，
∴－2＝k×（－2）， 则k＝1，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
（2）解：联立y＝x和 y＝ 得 x＝， 即x2＝4， 则x＝±2，
∴B（2， 2），
△ABC的面积为8， 即
∴OC＝4，
∵点C是y轴正半轴上的一点，
∴点C的坐标为（0， 4）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立两解析式，求出交点B的坐标，然后根据列方程求出OC长，即可得到点D的坐标.
20．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD.
（1）判断OB与OC的位置关系，并说明理由；
（2）若BO＝3，tan∠OCD＝，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，
，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴的半径为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质，根据HL得到和，即可得到，，然后根据平行线的性质得到，即可得到结论；
（2）由（1）可得，根据正切的定义求出的长度，利用勾股定理求出的长度；然后根据两角相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
21． 若m+2n＝2， 则3m+6n－5 ＝　 　.
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：1.
【分析】先把原式整理为3(m+2n)-5，然后整体代入计算即可.
22．若关于x的方程. 有两个不相等的实数根，则a的取值范围为　 　.
【答案】a＜4
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据方程根的情况得到判别式大于0，求出a的取值范围即可．
23．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如图，
一共有种等可能的结果，分别为，，，，，
由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个
符合条件的结果有，，，，共种
灯泡亮的概率是．
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
24．如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30°，得到正方形AEFG， EF交CD于点 H， 则四边形ADHE的面积为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
四边形是边长为3的正方形，
，，
由旋转的性质可知：，，，
点在上，
，
，，
，，
；
在和中，
，
∴，
，
在中，，
，
四边形的面积
.
故答案为：.
【分析】连接，根据旋转得到，，根据得到，即可得到，根据旋转可得的度数，再在中根据正切的定义求出的长，然后根据四边形的面积计算即可.
25．桌上有 6 张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动　 　次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有n（n＞6）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意（n－2）张，则至少翻动　 　次后，能使所有的牌都反面向上.
【答案】3；3
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次；
当共6张牌，每次翻动4张时：
若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求；
构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上，
故至少翻动3次；
当共张牌，，每次翻动张时：
若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求；
构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次.
【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，据此解答即可.
26．图1是某景区的一段游览路线示意图.小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明.图2中，l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
（1）I2表示　 　（“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系；
（2）分别求出I1，I2的函数解析式；
（3）若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明 请通过计算说明.
【答案】（1）小明
（2）解：设的函数解析式为，
把代入得，解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，
把和代入得，
∴，
∴的函数解析式为；
（3）解：小聪能在到达观景台3 前追上小明，计算说明如下：
令70x＝40x+1200， 解得x＝40，
在y＝70x中， 当x＝40时， y＝2800，
∴小聪追上小明时所走的路程为2800m，
∵2800＜1200+1800＝3000，
∴小聪能在到达观景台3 前追上小明.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，
∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系；
故答案为：小明；
【分析】（1）借助函数图象解答即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）联立两解析式求出两人相遇时的时间，即可求出两人相遇时小聪所走的路程解答即可．
27．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE 是平行四边形，
（1）【初步感知】
如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝　 　度；
（2）【变化探寻】
如图2，AB＝10，AC＝15，固定点 D，当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B 相等.
（3）【深入探究】
如图3，固定点D，若移动点B到点B'，则点 C随之移动到点C'.
①判断线段 CC'与BB'的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点 B 处安装一支描图针，在点 C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形 L2，求图形L2的面积.（用含k的代数式表示）
【答案】（1）180
（2）解：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE＝DF， AF＝DE， FD∥AC
设AE＝DF＝x， BF＝y， 则CE＝ kx， AF＝DE＝ ky，
∵∠A＝∠A， ∠AEF＝∠B
∴∠AEF∽△ABC
∵DE∥AF
∴∠EDC＝∠B， ∠DEC＝∠A
∴∠EDC＝∠AEF
∴△EDC∽△AEF
，即
∵FD∥AC
∴△BFD∽△BAC
∵AB＝10， AC＝15，
∴当 时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等.
（3）解：①BB'∥CC'， 理由如下：
如图， 连接BC， B'C'，
同 （1） 可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°
∴B， C， D， B'， D， C'三点共线，
∵F'D∥A'C
∴△B'FD∽△B'A'C'
∵FD∥AC
又∵∠BDB'＝∠CDC'
∴△BB'D∽△CC'D
②由①可得
依题意，L1与L2是关于点D的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2，
∵等腰直角三角形L1的边长为2，面积为
∴图形L2的面积为2k2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE＝DF， AF＝DE， AE∥DF， AF∥DE，
∴△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD，
∴∠CED＝∠A＝∠DFB，
∴△CDE∽△DFA
∴∠1＝∠C
∵AC∥DF
∴∠C+∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°；
故答案为：180；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD， 即可可得，，进而可得，然后根据两边成比例且夹角相等得到，，即可得到，再根据平行线的性质解答即可；
（2）设，，即可得到，，根据两角相等得到，即可得到，然后根据平行线得到，利用对应边成比例得到，解答即可；
（3）①连接，然后推理得到，，根据相似三角形的性质解答即可；
②根据题意得到与是关于点的位似图形，则面积比为，据此解答即可．
28．如图1， 抛物线y＝a（x+12）（x－6）（a≠0）与x轴负半轴交于点A， 与y轴交于B （0， 6 ）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原点O，点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD 的平分线交 CD 于点 E.
①求点 E 的坐标；
②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x轴于点 G，连接DG交抛物线于点H， 连接EH， 当∠DEH＝∠DEF时， 求点H的横坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，
∴，解得：，
∴，即．

（2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点，
∴，对称轴为，
∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
②设，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∴．
∴，
如图：延长到J，使得，连接，
∵，
∴，是中线，
∴是的垂直平分线，
∴点H和点J关于对称，
∴，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴点的横坐标为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①求出点A的坐标和对称轴方程，根据对称性得到点，
再利用角平分线的定义得到、利用正切的定义求出，即可得到点E的坐标；
②设，，利用待定系数法求出直线和的解析式，即可得到g和h的关系式；延长到J，使得，连接，得到点H和点J关于对称，即可得到点J的坐标，然后把J点坐标代入EG解析式，及g和h的关系式联立求出h和g的值解答即可．
1 / 1四川省甘孜州2026年中考数学真题
1．下列各数中，最小的是（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．左图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（　　）
A． B．
C． D．
3．某人在一轮射击训练中共射击7次， 成绩为（单位：环）： 7， 8， 8， 9， 9， 10， 10.则该轮射击训练成绩的中位数是（　　）
A．7环 B．8环 C．9环 D．10环
4．在平面直角坐标系中，点M（－1，1）向右平移2个单位长度，所得点的坐标为（　　）
A．（－1， 3） B．（－1， － 1）
C．（－3， 1） D．（1， 1）
5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．－2（a－1）＝－2a+1 D．
7．如图，MN，EF 分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜面MN上，反射光线为 BC， 再经镜面EF反射得到光线CD， 若∠1＝60°， 则∠4＝ （　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随着时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状可能是下图中（　　）
A． B．
C． D．
9．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问；人与车各几何 其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少 设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．对于抛物线 以下说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5
C．顶点坐标为（5， 4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小
11． 比较大小： 2　 　. （填“＞”， “＜”或“＝”）
12．方程的解为　 　．
13． 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝28°， 则∠O＝　 　度.
14．如图， 在平行四边形 ABCD（AB＜AD）中， 按如下步骤作图：①以点 A 为圆心， 以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点 M，N；②分别以点 M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD 内交于点 P；③作射线AP交BC于点 E. 若AB＝3， EC＝2， 则AD的长为　 　.
15．（1）计算：
（2）解不等式组：
16．化简：
17．某校为下一学期更好地开展丰富多样的社团活动，现对该校学生就“社团活动的喜爱情况”进行抽样调查.设计如下调查问卷.
调查问卷 在下面四类社团活动项目中，你最喜爱的是（　　）.（每人只选一项） （A）舞蹈 （B）篮球 （C） 书法 （D） AI知识学习
所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）.
请根据图中的信息，解决下列问题；
（1）此次调查一共抽取了 ▲ 名学生，补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，请估计喜爱“AI知识学习”的学生人数；
（3）为了更好地开展下一学期的社团活动，请根据上述统计图中的信息，向学校提出一条合理的建议.
18．“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度.某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A，B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶 C 处的仰角为 45°， B， C 间的距离为 600 米.求山高 CD. （参考数据： 计算结果取整数.）
19． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数 的图象交于A（－2，n），B两点.
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标.
20．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD.
（1）判断OB与OC的位置关系，并说明理由；
（2）若BO＝3，tan∠OCD＝，求⊙O的半径.
21． 若m+2n＝2， 则3m+6n－5 ＝　 　.
22．若关于x的方程. 有两个不相等的实数根，则a的取值范围为　 　.
23．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮的概率为　 　.
24．如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30°，得到正方形AEFG， EF交CD于点 H， 则四边形ADHE的面积为　 　.
25．桌上有 6 张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动　 　次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有n（n＞6）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意（n－2）张，则至少翻动　 　次后，能使所有的牌都反面向上.
26．图1是某景区的一段游览路线示意图.小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明.图2中，l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
（1）I2表示　 　（“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系；
（2）分别求出I1，I2的函数解析式；
（3）若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明 请通过计算说明.
27．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE 是平行四边形，
（1）【初步感知】
如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝　 　度；
（2）【变化探寻】
如图2，AB＝10，AC＝15，固定点 D，当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B 相等.
（3）【深入探究】
如图3，固定点D，若移动点B到点B'，则点 C随之移动到点C'.
①判断线段 CC'与BB'的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点 B 处安装一支描图针，在点 C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形 L2，求图形L2的面积.（用含k的代数式表示）
28．如图1， 抛物线y＝a（x+12）（x－6）（a≠0）与x轴负半轴交于点A， 与y轴交于B （0， 6 ）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原点O，点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD 的平分线交 CD 于点 E.
①求点 E 的坐标；
②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x轴于点 G，连接DG交抛物线于点H， 连接EH， 当∠DEH＝∠DEF时， 求点H的横坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
最小的数是．
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，负数小于零比较大小解答即可.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱
∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形
∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆．
故答案为：A.
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此解答即可．
3．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵ 7次射击成绩已经按从小到大顺序排列，数据个数是奇数，
∴ 中位数为排序后第个数据，
∵ 第4个数据为9，
∴ 该轮射击成绩的中位数是9环．
故答案为：C.
【分析】中位数是吧一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点向右平移2个单位长度，纵坐标不变，
∴横坐标为，纵坐标为，所得点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”计算即可得到结果．
5．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形；是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形；不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误．
B、，∴B正确．
C、，∴C错误．
D、，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】运用合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式法则逐项判断选项．
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由光的反射定律可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据反射定律可知，然后根据两直线平行，内错角相等求出的度数解答即可．
8．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】由函数图象可知，折线分为三段，且增长速度逐渐增大，
注水速度是匀速的，水面上升的速度与容器的粗细（横截面积）有关，容器越细，水面上升越快，图象越陡，
段最平缓，说明容器中部最粗；段较陡，说明容器底部部较细；段最陡，说明容器上部最细，
只有D选项的容器符合中部最粗、下部次之、上部最细的特征．
故答案为：D.
【分析】根据注水速度一定时，横截面越大，水面高度上升越慢分析函数图象解答即可．
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，辆车，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设有人，辆车，根据“ 3人坐一辆车，两辆车是空的；人坐一辆车，则9人需要步行 ”列方程组即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
顶点坐标为，故C错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线；
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线顶点式的性质逐项判断即可．
11．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：>.
【分析】利用无理数的估算比较大小即可．
12．【答案】x＝7
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：.
【分析】方程两边同时乘以(x-4)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可.
13．【答案】56
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
．
，
．即．
故答案为：56.
【分析】根据圆周角定理解答即可.
14．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5.
【分析】根据平行四边形的性质可得，由作图可知平分，即可得到，进而可得，利用等角对等边得到，根据线段的和差解答即可．
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算绝对值、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
16．【答案】解：
＝x+1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先运算括号内分式的加减，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简解答即可.
17．【答案】（1）解：18 ，
条形统计图：
（2）解：（人）；
（3）解：根据统计图中的信息，喜欢“AI知识学习”的学生最多，可以扩大社团规模，更多地提供这方面的条件资源
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由舞蹈社团信息可知，总人数为：（人），
则喜欢篮球的人数为：（人），
故答案为：18；
【分析】（1）由舞蹈社团的人数除以占比求出考查人数，再根据考查人数减去其他社团人数求出篮球社团人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校总人数乘以样本中喜爱知识学习的学生人数占比即可；
（3）根据统计图信息，提出合理建议即可.
18．【答案】解：在Rt△ABF中，BF＝AB sin53°≈400× ＝320（ 米）
在Rt△BCE中， CE＝BC sin45°＝600×≈600×0.707＝424（米），
由题意可知，四边形DEBF为矩形，
∴DE＝BF＝320米，
∴CD＝CE+ED＝744 （米）
答：山高CD为744米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】再Rt△ABF和Rt△BCE中，根据正弦的定义求出BF和CE长，然后根据矩形的性质和勾股定理解答即可.
19．【答案】（1）解：A（－2， n）在反比例函数y＝ 的图象上，
则A（－2，－2），
点A（－2， －2）在正比例函数y＝ kx（k≠0）的图象上，
∴－2＝k×（－2）， 则k＝1，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
（2）解：联立y＝x和 y＝ 得 x＝， 即x2＝4， 则x＝±2，
∴B（2， 2），
△ABC的面积为8， 即
∴OC＝4，
∵点C是y轴正半轴上的一点，
∴点C的坐标为（0， 4）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立两解析式，求出交点B的坐标，然后根据列方程求出OC长，即可得到点D的坐标.
20．【答案】（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，
，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴的半径为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质，根据HL得到和，即可得到，，然后根据平行线的性质得到，即可得到结论；
（2）由（1）可得，根据正切的定义求出的长度，利用勾股定理求出的长度；然后根据两角相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
21．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：1.
【分析】先把原式整理为3(m+2n)-5，然后整体代入计算即可.
22．【答案】a＜4
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据方程根的情况得到判别式大于0，求出a的取值范围即可．
23．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如图，
一共有种等可能的结果，分别为，，，，，
由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个
符合条件的结果有，，，，共种
灯泡亮的概率是．
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
24．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
四边形是边长为3的正方形，
，，
由旋转的性质可知：，，，
点在上，
，
，，
，，
；
在和中，
，
∴，
，
在中，，
，
四边形的面积
.
故答案为：.
【分析】连接，根据旋转得到，，根据得到，即可得到，根据旋转可得的度数，再在中根据正切的定义求出的长，然后根据四边形的面积计算即可.
25．【答案】3；3
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次；
当共6张牌，每次翻动4张时：
若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求；
构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上，
故至少翻动3次；
当共张牌，，每次翻动张时：
若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求；
构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次.
【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，据此解答即可.
26．【答案】（1）小明
（2）解：设的函数解析式为，
把代入得，解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，
把和代入得，
∴，
∴的函数解析式为；
（3）解：小聪能在到达观景台3 前追上小明，计算说明如下：
令70x＝40x+1200， 解得x＝40，
在y＝70x中， 当x＝40时， y＝2800，
∴小聪追上小明时所走的路程为2800m，
∵2800＜1200+1800＝3000，
∴小聪能在到达观景台3 前追上小明.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，
∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系；
故答案为：小明；
【分析】（1）借助函数图象解答即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）联立两解析式求出两人相遇时的时间，即可求出两人相遇时小聪所走的路程解答即可．
27．【答案】（1）180
（2）解：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE＝DF， AF＝DE， FD∥AC
设AE＝DF＝x， BF＝y， 则CE＝ kx， AF＝DE＝ ky，
∵∠A＝∠A， ∠AEF＝∠B
∴∠AEF∽△ABC
∵DE∥AF
∴∠EDC＝∠B， ∠DEC＝∠A
∴∠EDC＝∠AEF
∴△EDC∽△AEF
，即
∵FD∥AC
∴△BFD∽△BAC
∵AB＝10， AC＝15，
∴当 时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等.
（3）解：①BB'∥CC'， 理由如下：
如图， 连接BC， B'C'，
同 （1） 可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°
∴B， C， D， B'， D， C'三点共线，
∵F'D∥A'C
∴△B'FD∽△B'A'C'
∵FD∥AC
又∵∠BDB'＝∠CDC'
∴△BB'D∽△CC'D
②由①可得
依题意，L1与L2是关于点D的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2，
∵等腰直角三角形L1的边长为2，面积为
∴图形L2的面积为2k2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE＝DF， AF＝DE， AE∥DF， AF∥DE，
∴△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD，
∴∠CED＝∠A＝∠DFB，
∴△CDE∽△DFA
∴∠1＝∠C
∵AC∥DF
∴∠C+∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°；
故答案为：180；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD， 即可可得，，进而可得，然后根据两边成比例且夹角相等得到，，即可得到，再根据平行线的性质解答即可；
（2）设，，即可得到，，根据两角相等得到，即可得到，然后根据平行线得到，利用对应边成比例得到，解答即可；
（3）①连接，然后推理得到，，根据相似三角形的性质解答即可；
②根据题意得到与是关于点的位似图形，则面积比为，据此解答即可．
28．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，
∴，解得：，
∴，即．

（2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点，
∴，对称轴为，
∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
②设，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∴．
∴，
如图：延长到J，使得，连接，
∵，
∴，是中线，
∴是的垂直平分线，
∴点H和点J关于对称，
∴，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴点的横坐标为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①求出点A的坐标和对称轴方程，根据对称性得到点，
再利用角平分线的定义得到、利用正切的定义求出，即可得到点E的坐标；
②设，，利用待定系数法求出直线和的解析式，即可得到g和h的关系式；延长到J，使得，连接，得到点H和点J关于对称，即可得到点J的坐标，然后把J点坐标代入EG解析式，及g和h的关系式联立求出h和g的值解答即可．
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