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广东茂名市2025-2026学年高二下学期7月期末质量抽测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A．8 B．9 C．10 D．20
2．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．12 B．15 C．24 D．48
4．为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有的人超声波结果正常
B．有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关”
5．2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．11种 B．12种 C．13种 D．14种
6．已知两个随机事件、，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、多选题
9．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7
若关于的线性回归方程为，则（ ）
A．变量，正相关
B．
C．可以预测当时，用户数量首次突破2百万
D．当时，实际用户数量高于预测值
10．已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则（ ）
A．
B．
C．
D．时，
11．已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．等差数列的前项和为，，则_____________．
13．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________．
14．如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________．
四、解答题
15．数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字．
(1)设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望；
(2)求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
18．波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为.
(1)求的数学期望与方差；
(2)求（其中，，…；或）；
(3)若，求数列的通项公式.
19．已知函数.
(1)若，，求在上的极值点；
(2)若，，证明：
（ⅰ），；
（ⅱ），当时，.
试卷第1页，共3页
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《广东茂名市2025-2026学年高二下学期7月期末质量抽测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C D A A B AC ACD
题号 11
答案 BC
12．
13．
14． /0.03125 /13.5
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，.
所以，即.
又，满足.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）
所以.
所以.
16．(1)
0 1 2 3
数学期望
(2)所求概率为
【详解】（1）由题意可知：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望；
（2）若等差数列的公差为1，有以下情形：，共个，
若等差数列的公差为2，有以下情形：，共个，
若等差数列的公差为3，有以下情形：共个，
若等差数列的公差为4，有以下情形：，共个，
所以抽取的这3个数字能构成等差数列的概率为.
17．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)要证，代入得，即.
利用指数性质，令（），不等式转化为，分情况讨论：
若：，故，不等式成立；
若：不等式等价于，设，求导得.
令得，时，单调递减；时，单调递增.
因此，即. 已知，故，即 成立，不等式成立.
综上，原不等式得证.
【详解】（1）定义域为，对求导得，
分母恒正，单调性由分子的符号决定，分情况讨论：
当时：时恒成立，故，在上单调递增；
当时：二次函数开口向上，判别式.
由于的两根之和为，两根之积为，则仅有一个正根，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）略.
18．(1)，；
(2)若，；若，；
(3)
【详解】（1）初始推荐池共条视频，第一次点击后，
若点击生活类，科技类数量不变，则，概率 ；
若点击科技类，新增1条科技类，则，概率.
期望
方差.
（2）第次更新后，推荐池总视频数为初始条加次新增共条，说明科技类条，生活类条.
若，即第次点击科技类，新增1条科技类，故；
若，即第次点击生活类，科技类数量不变，故 .
（3）意味着前次点击全为生活类（只要点击1次科技类，），因此只有时才可能，
由全概率公式得递推，
代入（2）的结论得，初始值，
累乘得，
因此数列的通项公式为.
19．(1)的极大值点为，无极小值点．
(2)（i）当时，，
当时，，
下证：当时，，
令，
，且时单调递减，
∴存在唯一，使得，
单调递增，
单调递减，
，
，即，即，
，
，证毕．
（ii），
的周期为．
，
的对称轴为，
要证时，命题成立，只需证时，命题成立，
当时，且时，，
，
由（i）知，
，
，
，
，
在单调递增，
，即，证毕．
【详解】（1）若，
则，
∵当时，，
，
，
令，解得：（舍），
∴当时，单调递增；
当时，单调递减，
的极大值点为，无极小值点．
（2）（i）略；（ii）略.
答案第1页，共2页
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