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四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年七年期下学期期末数学试卷（辅修班）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．实数：，，，中无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在寻宝游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为（　　）
A． B． C． D．
3．已知点在一次函数的图象上，则的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的立方根为
C．的平方根是 D．0的立方根为0，但0没有平方根
6．某校今年共有30名学生参加暑期科技创新营活动，他们的年龄分布如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16
人数（人） 9 8 10 3
则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（　　）
A．14岁和14岁 B．14岁和15岁
C．岁和15岁 D．15岁和16岁
7．我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（　　）
A．11 B．47 C．26 D．35
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
10．已知点和都在直线（为常数）上，则　 　（填“”、“”、“”）．
11．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为　 　．
12．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为　 　．
13．如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为　 　．
三、解答题（本大题共有5个小题，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程组：；
（4）解方程组：．
15．一次函数与正比例函数的图象经过点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积．
16．为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好；
（2）请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？
17．如图，在中，是边上的高，已知，，．
（1）求的长；
（2）过点A作的角平分线交边于点E，求的面积．
18．如图，长方形中，，，且满足．点P是折线上的动点，连接，线段的垂直平分线与线段（或）交于点，与线段（或）交于点．
（1）求和的长；
（2）如图，当点与重合时，求和的长．
（3）点从点出发后，沿折线运动到点后停止．设点的运动路程为，线段的长为，当点在线段上时，求关于的函数关系式（注明自变量取值范围），并求当点是的中点时的长．
四、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
19．满足的所有整数的和为　 　．
20．如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为　 　．
21．在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为　 　．
22．如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则　 　．
23．如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是　 　．
五、解答题（本大题共有3个小题，共30分）
24．某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元．
（1）求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？
（2）若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元，
①求y关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点．
（1）若点的坐标为；
①求点的坐标；
②点是直线上一点，且，求点的坐标．
（2）如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式．
26．如图，等腰中，，点是内的一点（包括边界），连接．
【初步感知】
（1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，若，且满足，求的值．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，连接，当是直角三角形，且两直角边长之比等于时，请直接写出长的所有可能值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：实数：，，，中无理数的个数为，共2个，
故选：B．
【分析】根据无限不循环小数我们叫作无理数，据此逐个判断即可．
2．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵点和，
∴建立平面直角坐标系为：
∴．
故选：D
【分析】根据已知的两个坐标点建立坐标系，进而即可求解．
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据题意将点代入一次函数中得到，解此方程即可求解．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：设三边分别为、、，则，满足勾股定理逆定理，说明，是直角三角形；
B：等式可变形为，符合勾股定理逆定理，说明，是直角三角形；
C：由及三角形内角和，得，故，是直角三角形；
D：角度比为，总份数为，最大角，小于，不是直角三角形．
故选：D．
【分析】A项根据题干信息设三边分别为、、，进而利用勾股定理即可判断；B项直接将题干信息改写成，进而利用勾股定理即可判断；C项和D项直接利用三角形内角和定理计算即可．
5．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．的平方根应为，故错误；
B．的立方根是，故错误；
C．，16的平方根是，故正确；
D.0的立方根是0，且0的平方根也是0，故错误；
故选：C．
【分析】A项和C项直接根据平方根的定义计算即可；B项和D项根据立方根的定义计算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数：由表可知，15岁有10人，人数最多，故众数为15岁；
由题意可知将数据从小到大排列后，可知第15和第16个数均落在14岁组内，故中位数为岁；
故选：B．
【分析】根据在一组数据中出现次数最多的数我们叫作众数；将数据按照从小到大的顺序排列以后，处于中间的数我们叫作中位数，据此即可求解．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有客x人，银有y两，由题意，得：
；
故选B．
【分析】
根据题目给出的两种分银情况：分给每人7两银子后，还剩余4两；分给每人9两银子时，还差8两，以此为依据列出对应的方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【分析】
按照下图辅助，先分别利用勾股定理求出正方形F和正方形G的面积，再结合勾股定理定理计算出正方形E的面积就可以得到结果.
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵代数式有意义，
∴
解得，
故答案为：．
【分析】
二次根式具有双重非负性，即．
10．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意结合一次函数的性质得到y随x增大而减小，进而即可求解．
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：直线与直线的交点坐标为，
，
解得：，
∴直线与直线的交点坐标为，
方程组的解为．
故答案为：．
【分析】根据两直线的交点为得到方程，进而可得到直线与直线的交点坐标为，进而即可求解．
12．【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，连接，
由题意可知，，
故答案为：．
【分析】过点作，连接，可知，，在中，利用勾股定理求出，可知点的坐标为
13．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点，
∵，，
∴，
由，
则有，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交延长线于点，易证四边形是矩形，则，，进而求出，设，则，，由勾股定理得：，然后求出的值即可．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
①代入②，得，
解得，
把代入①，
得，
∴原方程组的解为；
（4）解：，
，得③，
，得，
解得，
把代入②，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先化简负整数指数，0指数，绝对值，算术平方根得到结果为，再加减；
（2）先用二次根式的乘除法化简，完全平方公式展开得到结果为，再加减；
（3）用代入消元法解答，①代入②，求出ｘ值，ｘ值代入①，求出ｙ值，即可；
（4）用加减消元法解答，，求出ｙ值，ｙ值代入②求出ｘ值，即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
①代入②，
得，
解得，
把代入①，
得，
∴原方程组的解为；
（4）解：，
，
得③，
，
得，
解得，
把代入②，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
15．【答案】（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
把点代入
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为；
（2）解：如图，
由函数得：当时，，
∴与轴的交点是，
∵且两图象都经过点，
∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（）根据题意利用待定系数法将点分别代入和，然后分别求出两个参数即可；
（）先画图，然后求出直线与轴的交点坐标为，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
把点代入
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为；
（2）解：如图，
由函数得：当时，，
∴与轴的交点是，
∵且两图象都经过点，
∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积是．
16．【答案】（1）抽样调查；120
（2）解：篮球的人数是为名，补图如下：
∵，
∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度；
（3）解：，
∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查；
这次一共调查了名学生，
故答案为：抽样调查；120；
【分析】（）根据该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生可判断调查的方式；根据排球的百分比和人数可求总数；
（）用总数减去已知各部分的人数求出篮球球的人数，从而补全统计图；用乒乓球人数除以总人数再乘以360°即可；
（）用全校的总人数乘以该校喜欢篮球的学生所占的百分比，即可得出答案．
（1）解：由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查；
这次一共调查了名学生，
故答案为：抽样调查；120；
（2）解：篮球的人数是为名，
补图如下：
∵，
∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度；
（3）解：，
∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人．
17．【答案】（1）解：∵，
∴是直角三角形且，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点E作交于点F，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，然后根据等面积法计算即可求解；
（2）过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，利用"HL"证明，则，设，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可．
（1）解：∵，
∴是直角三角形且，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点E作交于点F，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴．
18．【答案】（1）解：，
整理可得：，
又，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：连接、，
四边形是长方形，
，，，
是线段的垂直平分线，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，；
（3）解：①如下图所示，当时，是等腰直角三角形，
又是的垂直平分线，
此时，点与点重合；
②如下图所示，当时，
则有，，
在中，，
，
整理得：；
③如下图所示，当时，
则，，
在中，，
在中，，
，
是的垂直平分线，
，
，
整理得：；
综上所述，；
当点是的中点时，即，
则有，
当点是的中点时．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】首先把等式整理成的形式，根据平方的非负性和平方根的非负性可知，，进而即可求出、的值，进而即可求解；
连接、，设，则，根据勾股定理可得：，解方程求出，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出，从而可以求出；
根据题意可知需分3种情况讨论，①当时，是等腰直角三角形；②当时，根据勾股定理可得到，即；③当时，根据勾股定理可得到，即；整理得到，进而求出当点是的中点时x的值，代入计算即可.
（1）解：，
整理可得：，
又，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：如下图所示，连接、，
四边形是长方形，
，，，
是线段的垂直平分线，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，；
（3）解：如下图所示，当时，是等腰直角三角形，
又是的垂直平分线，
此时，点与点重合；
如下图所示，当时，
则有，，
在中，，
，
整理得：；
如下图所示，当时，
则，，
在中，，
在中，，
，
是的垂直平分线，
，
，
整理得：；
综上所述，；
当点是的中点时，即，
则有，
当点是的中点时．
19．【答案】5
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴，
∵
∴满足的所有整数有，，，，3
它们和为，
故答案为：5．
【分析】首先通过对，大小的估算得到：，，进而可得到满足条件的所有整数有，，，，3，进而计算即可.
20．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：可化为，
将代入得，
解得：，
将代入得：，
解得：，
将，代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将化为，代入求出，进而求出，将，代入求解即可．
21．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
22．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；三角形的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点在的延长线上时，此时，令，
如图，过点作，交于点，过点作，交于点，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，不符合，
所以，此种情况不存在；
②当点在线段上时，此时，令，点为线段中点，
如图，过点作，交于点，过点作，交于点，
同①得，，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
假设，则，，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，（负值已舍），
，
故答案为：．
【分析】根据题意分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时， 过点作，交于点，过点作，交于点， 利用全等三角形的性质可得到，进而即可判断；②当点在线段上时，过点作，交于点，过点作，交于点，利用全等三角形和等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算即可.
23．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设，点和连线中点坐标为，
∵点关于直线对称的点为，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，
∴，
∵点落在内（包括边界），
∴，
∴，
∴
解得，
故答案为：．
【分析】设，点和，根据中点坐标公式得到连线中点坐标为，根据坐标对称得到，进而得到，建立不等式组， 解不等式组即可.
24．【答案】（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，
根据题意，得：，
解得，
答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元．
（2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，
依题意得：，
即，
∵
关于a的函数关系式为：（且为正整数）；
②，
∵，
随的增大而减小，
又∵且为正整数
当时，取得最大值，
则购进A型复读机（台），
答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据"销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元"据此列出方程：；根据"销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元"据此列出方程：，然后联立得到方程组，解方程组即可；
（2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式为即可；
②根据①的结论结合一次函数的性质得到随的增大而减小，进而可知当时，取得最大值，进而即可求解.
（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，
根据题意，得：，解得，
答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元．
（2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得：
，
即，
∵
关于a的函数关系式为：（且为正整数）；
②，
∵，
随的增大而减小，
又∵且为正整数
当时，取得最大值，
则购进A型复读机（台），
答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大．
25．【答案】（1）解：①设直线的解析式为：，把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点；
②当时，，
∴点，
∴，
当时，即，
解得：，
∴点，
∴，
∴，
设点，
当点在点下方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
当点在点上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
∴点的坐标为或；
（2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图：
∵的总长为时，
∴，
设点，则，
∵，
∴所在直线为，
又∵点在上，
∴，
联立得：，
解得：，
∴点，
设点，则，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∴，
由得：，
设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设所在直线解析式为：，
把代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点，
∴，，
∴，，
∴把，代入③，
得，
化简整理，得，
∴
或．
∴或，
∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①首先设直线的解析式为，将把点，代入解析式，通过解方程组求出和的值，得到直线的解析式为，；再联立直线与已知直线的方程得到，解方程组求出交点的坐标；
②先求出点C的坐标并计算的长度为，设点，分点在点下方和上方两种情况，根据列出方程，求解得到点的坐标；
（2）作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，利用对称点的性质将光线路径总长转化为两对称点间的距离；设点，则，求出对称点所在直线的解析式，联立方程求出交点坐标．设点，则，利用勾股定理得到，，进而求出；然后用待定系数法求得直线的解析式为：，所在直线解析式为：，联立得：，解得：，则点， 则有，，代入③化简整理，得，求得：，，即可得出直线的解析式．
（1）解：①设直线的解析式为：，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点；
②当时，，
∴点，
∴，
当时，即，
解得：，
∴点，
∴，
∴，
设点，
当点在点下方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
当点在点上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
∴点的坐标为或；
（2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图：
∵的总长为时，
∴，
设点，则，
∵，
∴所在直线为，
又∵点在上，
∴，
联立得：，
解得：，
∴点，
设点，则，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∴，
由得：，
设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设所在直线解析式为：，
把代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点，
∴，，
∴，，
∴把，代入③，
得，
化简整理，得，
∴
或．
∴或，
∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：．
26．【答案】解：（1）线段绕点C逆时针旋转得到线段，
，
，即，
在与中，
，
，
；
（2）如图，作交延长线于E，连作交于F，设交于N，
：
为等腰直角三角形
，
；
（3）长的所有可能值有或或
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型；分类讨论
1 / 1四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年七年期下学期期末数学试卷（辅修班）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．实数：，，，中无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：实数：，，，中无理数的个数为，共2个，
故选：B．
【分析】根据无限不循环小数我们叫作无理数，据此逐个判断即可．
2．如图，在寻宝游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵点和，
∴建立平面直角坐标系为：
∴．
故选：D
【分析】根据已知的两个坐标点建立坐标系，进而即可求解．
3．已知点在一次函数的图象上，则的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据题意将点代入一次函数中得到，解此方程即可求解．
4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：设三边分别为、、，则，满足勾股定理逆定理，说明，是直角三角形；
B：等式可变形为，符合勾股定理逆定理，说明，是直角三角形；
C：由及三角形内角和，得，故，是直角三角形；
D：角度比为，总份数为，最大角，小于，不是直角三角形．
故选：D．
【分析】A项根据题干信息设三边分别为、、，进而利用勾股定理即可判断；B项直接将题干信息改写成，进而利用勾股定理即可判断；C项和D项直接利用三角形内角和定理计算即可．
5．下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的立方根为
C．的平方根是 D．0的立方根为0，但0没有平方根
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．的平方根应为，故错误；
B．的立方根是，故错误；
C．，16的平方根是，故正确；
D.0的立方根是0，且0的平方根也是0，故错误；
故选：C．
【分析】A项和C项直接根据平方根的定义计算即可；B项和D项根据立方根的定义计算即可求解．
6．某校今年共有30名学生参加暑期科技创新营活动，他们的年龄分布如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16
人数（人） 9 8 10 3
则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（　　）
A．14岁和14岁 B．14岁和15岁
C．岁和15岁 D．15岁和16岁
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数：由表可知，15岁有10人，人数最多，故众数为15岁；
由题意可知将数据从小到大排列后，可知第15和第16个数均落在14岁组内，故中位数为岁；
故选：B．
【分析】根据在一组数据中出现次数最多的数我们叫作众数；将数据按照从小到大的顺序排列以后，处于中间的数我们叫作中位数，据此即可求解．
7．我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有客x人，银有y两，由题意，得：
；
故选B．
【分析】
根据题目给出的两种分银情况：分给每人7两银子后，还剩余4两；分给每人9两银子时，还差8两，以此为依据列出对应的方程组即可.
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（　　）
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【分析】
按照下图辅助，先分别利用勾股定理求出正方形F和正方形G的面积，再结合勾股定理定理计算出正方形E的面积就可以得到结果.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵代数式有意义，
∴
解得，
故答案为：．
【分析】
二次根式具有双重非负性，即．
10．已知点和都在直线（为常数）上，则　 　（填“”、“”、“”）．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意结合一次函数的性质得到y随x增大而减小，进而即可求解．
11．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：直线与直线的交点坐标为，
，
解得：，
∴直线与直线的交点坐标为，
方程组的解为．
故答案为：．
【分析】根据两直线的交点为得到方程，进而可得到直线与直线的交点坐标为，进而即可求解．
12．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，连接，
由题意可知，，
故答案为：．
【分析】过点作，连接，可知，，在中，利用勾股定理求出，可知点的坐标为
13．如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点，
∵，，
∴，
由，
则有，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交延长线于点，易证四边形是矩形，则，，进而求出，设，则，，由勾股定理得：，然后求出的值即可．
三、解答题（本大题共有5个小题，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程组：；
（4）解方程组：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
①代入②，得，
解得，
把代入①，
得，
∴原方程组的解为；
（4）解：，
，得③，
，得，
解得，
把代入②，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先化简负整数指数，0指数，绝对值，算术平方根得到结果为，再加减；
（2）先用二次根式的乘除法化简，完全平方公式展开得到结果为，再加减；
（3）用代入消元法解答，①代入②，求出ｘ值，ｘ值代入①，求出ｙ值，即可；
（4）用加减消元法解答，，求出ｙ值，ｙ值代入②求出ｘ值，即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
①代入②，
得，
解得，
把代入①，
得，
∴原方程组的解为；
（4）解：，
，
得③，
，
得，
解得，
把代入②，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
15．一次函数与正比例函数的图象经过点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
把点代入
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为；
（2）解：如图，
由函数得：当时，，
∴与轴的交点是，
∵且两图象都经过点，
∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（）根据题意利用待定系数法将点分别代入和，然后分别求出两个参数即可；
（）先画图，然后求出直线与轴的交点坐标为，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
把点代入
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为；
（2）解：如图，
由函数得：当时，，
∴与轴的交点是，
∵且两图象都经过点，
∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积是．
16．为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好；
（2）请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？
【答案】（1）抽样调查；120
（2）解：篮球的人数是为名，补图如下：
∵，
∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度；
（3）解：，
∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查；
这次一共调查了名学生，
故答案为：抽样调查；120；
【分析】（）根据该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生可判断调查的方式；根据排球的百分比和人数可求总数；
（）用总数减去已知各部分的人数求出篮球球的人数，从而补全统计图；用乒乓球人数除以总人数再乘以360°即可；
（）用全校的总人数乘以该校喜欢篮球的学生所占的百分比，即可得出答案．
（1）解：由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查；
这次一共调查了名学生，
故答案为：抽样调查；120；
（2）解：篮球的人数是为名，
补图如下：
∵，
∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度；
（3）解：，
∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人．
17．如图，在中，是边上的高，已知，，．
（1）求的长；
（2）过点A作的角平分线交边于点E，求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴是直角三角形且，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点E作交于点F，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，然后根据等面积法计算即可求解；
（2）过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，利用"HL"证明，则，设，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可．
（1）解：∵，
∴是直角三角形且，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点E作交于点F，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴．
18．如图，长方形中，，，且满足．点P是折线上的动点，连接，线段的垂直平分线与线段（或）交于点，与线段（或）交于点．
（1）求和的长；
（2）如图，当点与重合时，求和的长．
（3）点从点出发后，沿折线运动到点后停止．设点的运动路程为，线段的长为，当点在线段上时，求关于的函数关系式（注明自变量取值范围），并求当点是的中点时的长．
【答案】（1）解：，
整理可得：，
又，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：连接、，
四边形是长方形，
，，，
是线段的垂直平分线，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，；
（3）解：①如下图所示，当时，是等腰直角三角形，
又是的垂直平分线，
此时，点与点重合；
②如下图所示，当时，
则有，，
在中，，
，
整理得：；
③如下图所示，当时，
则，，
在中，，
在中，，
，
是的垂直平分线，
，
，
整理得：；
综上所述，；
当点是的中点时，即，
则有，
当点是的中点时．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】首先把等式整理成的形式，根据平方的非负性和平方根的非负性可知，，进而即可求出、的值，进而即可求解；
连接、，设，则，根据勾股定理可得：，解方程求出，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出，从而可以求出；
根据题意可知需分3种情况讨论，①当时，是等腰直角三角形；②当时，根据勾股定理可得到，即；③当时，根据勾股定理可得到，即；整理得到，进而求出当点是的中点时x的值，代入计算即可.
（1）解：，
整理可得：，
又，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：如下图所示，连接、，
四边形是长方形，
，，，
是线段的垂直平分线，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，；
（3）解：如下图所示，当时，是等腰直角三角形，
又是的垂直平分线，
此时，点与点重合；
如下图所示，当时，
则有，，
在中，，
，
整理得：；
如下图所示，当时，
则，，
在中，，
在中，，
，
是的垂直平分线，
，
，
整理得：；
综上所述，；
当点是的中点时，即，
则有，
当点是的中点时．
四、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
19．满足的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴，
∵
∴满足的所有整数有，，，，3
它们和为，
故答案为：5．
【分析】首先通过对，大小的估算得到：，，进而可得到满足条件的所有整数有，，，，3，进而计算即可.
20．如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：可化为，
将代入得，
解得：，
将代入得：，
解得：，
将，代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将化为，代入求出，进而求出，将，代入求解即可．
21．在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
22．如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；三角形的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点在的延长线上时，此时，令，
如图，过点作，交于点，过点作，交于点，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，不符合，
所以，此种情况不存在；
②当点在线段上时，此时，令，点为线段中点，
如图，过点作，交于点，过点作，交于点，
同①得，，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
假设，则，，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，（负值已舍），
，
故答案为：．
【分析】根据题意分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时， 过点作，交于点，过点作，交于点， 利用全等三角形的性质可得到，进而即可判断；②当点在线段上时，过点作，交于点，过点作，交于点，利用全等三角形和等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算即可.
23．如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设，点和连线中点坐标为，
∵点关于直线对称的点为，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，
∴，
∵点落在内（包括边界），
∴，
∴，
∴
解得，
故答案为：．
【分析】设，点和，根据中点坐标公式得到连线中点坐标为，根据坐标对称得到，进而得到，建立不等式组， 解不等式组即可.
五、解答题（本大题共有3个小题，共30分）
24．某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元．
（1）求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？
（2）若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元，
①求y关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，
根据题意，得：，
解得，
答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元．
（2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，
依题意得：，
即，
∵
关于a的函数关系式为：（且为正整数）；
②，
∵，
随的增大而减小，
又∵且为正整数
当时，取得最大值，
则购进A型复读机（台），
答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据"销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元"据此列出方程：；根据"销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元"据此列出方程：，然后联立得到方程组，解方程组即可；
（2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式为即可；
②根据①的结论结合一次函数的性质得到随的增大而减小，进而可知当时，取得最大值，进而即可求解.
（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，
根据题意，得：，解得，
答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元．
（2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得：
，
即，
∵
关于a的函数关系式为：（且为正整数）；
②，
∵，
随的增大而减小，
又∵且为正整数
当时，取得最大值，
则购进A型复读机（台），
答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点．
（1）若点的坐标为；
①求点的坐标；
②点是直线上一点，且，求点的坐标．
（2）如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式．
【答案】（1）解：①设直线的解析式为：，把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点；
②当时，，
∴点，
∴，
当时，即，
解得：，
∴点，
∴，
∴，
设点，
当点在点下方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
当点在点上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
∴点的坐标为或；
（2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图：
∵的总长为时，
∴，
设点，则，
∵，
∴所在直线为，
又∵点在上，
∴，
联立得：，
解得：，
∴点，
设点，则，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∴，
由得：，
设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设所在直线解析式为：，
把代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点，
∴，，
∴，，
∴把，代入③，
得，
化简整理，得，
∴
或．
∴或，
∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①首先设直线的解析式为，将把点，代入解析式，通过解方程组求出和的值，得到直线的解析式为，；再联立直线与已知直线的方程得到，解方程组求出交点的坐标；
②先求出点C的坐标并计算的长度为，设点，分点在点下方和上方两种情况，根据列出方程，求解得到点的坐标；
（2）作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，利用对称点的性质将光线路径总长转化为两对称点间的距离；设点，则，求出对称点所在直线的解析式，联立方程求出交点坐标．设点，则，利用勾股定理得到，，进而求出；然后用待定系数法求得直线的解析式为：，所在直线解析式为：，联立得：，解得：，则点， 则有，，代入③化简整理，得，求得：，，即可得出直线的解析式．
（1）解：①设直线的解析式为：，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点；
②当时，，
∴点，
∴，
当时，即，
解得：，
∴点，
∴，
∴，
设点，
当点在点下方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
当点在点上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点，
∴点的坐标为或；
（2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图：
∵的总长为时，
∴，
设点，则，
∵，
∴所在直线为，
又∵点在上，
∴，
联立得：，
解得：，
∴点，
设点，则，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∴，
由得：，
设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设所在直线解析式为：，
把代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
∴点，
∴，，
∴，，
∴把，代入③，
得，
化简整理，得，
∴
或．
∴或，
∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：．
26．如图，等腰中，，点是内的一点（包括边界），连接．
【初步感知】
（1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，若，且满足，求的值．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，连接，当是直角三角形，且两直角边长之比等于时，请直接写出长的所有可能值．
【答案】解：（1）线段绕点C逆时针旋转得到线段，
，
，即，
在与中，
，
，
；
（2）如图，作交延长线于E，连作交于F，设交于N，
：
为等腰直角三角形
，
；
（3）长的所有可能值有或或
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型；分类讨论
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