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新疆昌吉回族自治州第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
3．已知向量，设的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（ ）
A．极差为4 B．中位数为6 C．平均数为5 D．方差为3
6．如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ）
A． B． C． D．
8．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ）
A． B．3 C． D．6
二、多选题
9．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点表示甲的创造能力指标值为4，点表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是（ ）
A．乙的记忆能力优于甲 B．乙的观察能力优于创造能力
C．甲的六大能力整体水平优于乙 D．乙的六大能力比甲较均衡
10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ）
A．A与B独立 B．B与C对立
C． D．
11．如图，正方体棱长为，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与直线所成的角为
B．平面与平面夹角的余弦值为
C．若，则点的轨迹长度为
D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________．
13．一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是___________．
14．已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，，．点，分别为棱，的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求直三棱柱的表面积及体积．
16．据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差；
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差．
17．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．
(1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率；
(2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率.
18．在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有.
(1)求；
(2)若的面积为=，求，；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面．

(1)求证：四面体为鳖臑；
(2)若，，M是的中点．
（ⅰ）求与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C B A A BC ACD
题号 11
答案 ABD
12．/
13．
14．
15．(1)如图，连接，
因为点，分别为棱，的中点，则，
又平面，平面，
所以直线平面.
(2)表面积为，体积为
【详解】（1）略
（2）因为，，，
则，所以，
所以，
又三棱柱是直三棱柱，所以侧棱垂直底面，
又，
则三棱柱的侧面积为，
所以直三棱柱的表面积，
直三棱柱的体积为.
16．(1)众数为，平均数为，中位数为；
(2)平均数，方差.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为，
所以众数为该区间的中点值，即.
平均数为： .
因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内.
设中位数为，则，
解得.
故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为.
（2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为.
设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则.
由题意知，，；，.
则合并后的平均数.
合并后的方差 .
故两组年龄合并后的平均数为，方差为.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，
所以，则，
所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为.
（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，
因为，
且，
所以，
即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由三角形面积公式，得①，
由余弦定理知，即，得②，
由①②解得，.
（3）因为，，所以，则，即，
，
又
，所以，
因为为锐角三角形，，
所以，解得，则，
所以，所以，
即的取值范围是.
19．(1)证明：如图，在平面内过点作于点，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面，平面，
所以，所以为直角三角形，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为直角三角形，
所以四面体为鳖臑；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）略
（2）（ⅰ）如图，取的中点，连接，

因为底面，底面，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
因为，，M是的中点，
所以，，所以，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
（ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接，

由（1）知，，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
设，则，，
易知，所以，即，得，
所以，
则当时有最小值
所以线段长度的最小值为.
答案第1页，共2页
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