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吉林省长春市绿园区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（　　）
A．正三角形　 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
3．道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
5．不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．在中，点是边上一点，，，则（　　）
A． B． C． D．
7． 某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（　　）
A．0 B．0 C．0 D．0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．若是关于的一元一次方程的解，则的值为　 　．
10．若x，y满足方程组，则　 　．
11．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为　 　．
12．如图，已知，，，则的值为　 　．
13．如图，在等腰直角中，，，点为内一点，连接、，将绕点逆时针旋转后得到，若的度数为，则的度数为　 　．
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有　 　．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
16．解下列方程组：
（1）
（2）
17．解不等式组：．
18．如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若交于点，求证：是直角三角形．
19．某中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某班参加14场比赛始终保持不败的记录，共得22分，求该班胜了多少场比赛？
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上．
21．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
（1）求正边形的周长；
（2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
22．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水秒，再接开水秒，整个过程不计热量损失．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：
开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度．
结合以上信息解决下列问题：
（1）甲同学要接满一杯的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为______秒；
（2）在（1）的条件下，求甲同学接的这杯水的温度；
（3）乙同学要接一杯且水温为的温开水，直接写出、的值．
23．在中，．
（1）如图①，若平分平分，则___________．
（2）如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________；
（3）如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数．
24．如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)．
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
（3）当将分成的两部分的面积比为时，求t的值．
（4）当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0，建立关于m的一元一次方程求解即可．
2．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】仔细分析各选项中各个正多边形的每个内角的度数，再根据平面镶嵌的特征分析即可。
A.正三角形的每个内角的度数为60°，360°÷60°=6，B.正四边形的每个内角的度数为90°，360°÷90°=4，C.正六边形的每个内角的度数为120°，360°÷120°=3，均能铺设，不符合题意；
D.正八边形的每个内角的度数为135°，135°不能整除360°，本选项符合题意。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正多边形的性质，即可完成。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即，
结合选项可得：A、B之间的距离可能是．
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，得到，结合选项即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知：，则：．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质判断即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据角的关系和三角形的外角计算求解即可．
7．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地，
由题意得：60+（3-0.5）x≥600.
故答案为：A.
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题中的不等关系"完成全部任务的时间不超过3小时"可列关于x的不等式.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∵该解集恰有三个整数解
∴三个整数解必为1、2、3．
∴的取值范围是
故选B．
【分析】先分别解两个不等式得到解集，再结合整数解的个数确定参数范围．
9．【答案】
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将代入方程得到关于m的一元一次方程求解即可．
10．【答案】7
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得．
故答案为：7．
【分析】利用求解即可．
11．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=180°-90°-25°=65°.
【分析】先根据作图得到AG是∠BAC的角平分线，再根据三角形的内角和得到∠BAC，进而根据角平分线的定义得到∠CAD，最后再利用三角形的内角和求出即可.
12．【答案】5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】先求出的值，然后根据全等三角形对应边相等的性质得的值.
13．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角的关系得到∠CBE，再根据三角形的内角和求出∠CAB，最后根据旋转的性质得出即可．
14．【答案】②③④
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：②是的中线，
，②正确，符合题意；
④是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，④正确，符合题意；
③，，
∴
，③正确，符合题意；
①过点F作于点P，如图所示，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，①错误，不符合题意；
故答案为：②③④.
【分析】根据三角形的中线的性质可判断②；根据角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可判断④；根据角的关系和角平分线的定义可判断③，根据角平分线的性质可判断①．
15．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号，移项，再合并同类项求解即可；
（2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为求解即可．
（1）解：
（2）解：
16．【答案】（1）解：，
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
∴方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把②代入①，消去Y，求出x，再代入②求出y即可；
（2）根据+②求出x，再代入①得出y即可．
（1）解：，
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
17．【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”求解即可．
18．【答案】（1）解：在中，，，
∴.
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和直接求出∠C的度数即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出∠BDC的度数，从而可得是直角三角形．
（1）解：在中，，，
∴；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴是直角三角形．
19．【答案】解：设该班胜了场比赛，则平了场比赛，
，
解得．
答：该班胜了8场比赛．
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】设该班胜了x场比赛，则平了场比赛，根据总得分胜的场数平的场数，列出关于x的一元一次方程，求解即可．
20．【答案】解：由题意，作图如下：

【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可．
21．【答案】（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）解：正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据多边形的内角和公式求得边数即可．
（2）先根据（1）求出正边形每个内角的度数，进而求出正n边形的每个外角的度数，最后根据多边形的外角和为求解即可．
（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
22．【答案】（1）12
（2）解：设所接的这杯水的温度是，由题意可得：，
解得：，
∴再接开水的时间为秒，所接的这杯水的温度是；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）（秒），
故答案为：；
【分析】（1）根据再接开水的时间 (接水的总体积温水的流速接温水的时间)开水的流速，求解即可；
（2）设所接的这杯水的温度是，根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列出关于的一元一次方程，求解即可；
(3)根据乙同学所接水的体积及温度，列出关于x，的二元一次方程组，求解即可．
（1）解：（秒），
故答案为：；
（2）解：设所接的这杯水的温度是，
由题意可得：，
解得：，
∴再接开水的时间为秒，所接的这杯水的温度是；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2），
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理以及外角性质得到，求解即可；
（3）先根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得到，最后根据角的关系求解即可；
（1）解：，
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2）解：，
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
24．【答案】（1）
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等于点P运动的距离与的差，求解即可；
（2）根据等腰三角形得出点P运动距离，求解即可；
（3）分为的面积与的面积是或，两种情况分析即可；
（4）分为点P在上，点P在上和点P在上，三种情况分析即可．
（1）解：∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
1 / 1吉林省长春市绿园区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0，建立关于m的一元一次方程求解即可．
2．某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（　　）
A．正三角形　 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】仔细分析各选项中各个正多边形的每个内角的度数，再根据平面镶嵌的特征分析即可。
A.正三角形的每个内角的度数为60°，360°÷60°=6，B.正四边形的每个内角的度数为90°，360°÷90°=4，C.正六边形的每个内角的度数为120°，360°÷120°=3，均能铺设，不符合题意；
D.正八边形的每个内角的度数为135°，135°不能整除360°，本选项符合题意。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正多边形的性质，即可完成。
3．道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此逐项进行判断即可.
4．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即，
结合选项可得：A、B之间的距离可能是．
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，得到，结合选项即可得到答案．
5．不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知：，则：．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质判断即可．
6．在中，点是边上一点，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据角的关系和三角形的外角计算求解即可．
7． 某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地，
由题意得：60+（3-0.5）x≥600.
故答案为：A.
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题中的不等关系"完成全部任务的时间不超过3小时"可列关于x的不等式.
8．若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（　　）
A．0 B．0 C．0 D．0
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∵该解集恰有三个整数解
∴三个整数解必为1、2、3．
∴的取值范围是
故选B．
【分析】先分别解两个不等式得到解集，再结合整数解的个数确定参数范围．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．若是关于的一元一次方程的解，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将代入方程得到关于m的一元一次方程求解即可．
10．若x，y满足方程组，则　 　．
【答案】7
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得．
故答案为：7．
【分析】利用求解即可．
11．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为　 　．
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=180°-90°-25°=65°.
【分析】先根据作图得到AG是∠BAC的角平分线，再根据三角形的内角和得到∠BAC，进而根据角平分线的定义得到∠CAD，最后再利用三角形的内角和求出即可.
12．如图，已知，，，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】先求出的值，然后根据全等三角形对应边相等的性质得的值.
13．如图，在等腰直角中，，，点为内一点，连接、，将绕点逆时针旋转后得到，若的度数为，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角的关系得到∠CBE，再根据三角形的内角和求出∠CAB，最后根据旋转的性质得出即可．
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有　 　．
【答案】②③④
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：②是的中线，
，②正确，符合题意；
④是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，④正确，符合题意；
③，，
∴
，③正确，符合题意；
①过点F作于点P，如图所示，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，①错误，不符合题意；
故答案为：②③④.
【分析】根据三角形的中线的性质可判断②；根据角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可判断④；根据角的关系和角平分线的定义可判断③，根据角平分线的性质可判断①．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号，移项，再合并同类项求解即可；
（2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为求解即可．
（1）解：
（2）解：
16．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
∴方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把②代入①，消去Y，求出x，再代入②求出y即可；
（2）根据+②求出x，再代入①得出y即可．
（1）解：，
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
17．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”求解即可．
18．如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若交于点，求证：是直角三角形．
【答案】（1）解：在中，，，
∴.
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和直接求出∠C的度数即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出∠BDC的度数，从而可得是直角三角形．
（1）解：在中，，，
∴；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴是直角三角形．
19．某中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某班参加14场比赛始终保持不败的记录，共得22分，求该班胜了多少场比赛？
【答案】解：设该班胜了场比赛，则平了场比赛，
，
解得．
答：该班胜了8场比赛．
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】设该班胜了x场比赛，则平了场比赛，根据总得分胜的场数平的场数，列出关于x的一元一次方程，求解即可．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上．
【答案】解：由题意，作图如下：

【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可．
21．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
（1）求正边形的周长；
（2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）解：正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据多边形的内角和公式求得边数即可．
（2）先根据（1）求出正边形每个内角的度数，进而求出正n边形的每个外角的度数，最后根据多边形的外角和为求解即可．
（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
22．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水秒，再接开水秒，整个过程不计热量损失．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：
开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度．
结合以上信息解决下列问题：
（1）甲同学要接满一杯的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为______秒；
（2）在（1）的条件下，求甲同学接的这杯水的温度；
（3）乙同学要接一杯且水温为的温开水，直接写出、的值．
【答案】（1）12
（2）解：设所接的这杯水的温度是，由题意可得：，
解得：，
∴再接开水的时间为秒，所接的这杯水的温度是；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）（秒），
故答案为：；
【分析】（1）根据再接开水的时间 (接水的总体积温水的流速接温水的时间)开水的流速，求解即可；
（2）设所接的这杯水的温度是，根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列出关于的一元一次方程，求解即可；
(3)根据乙同学所接水的体积及温度，列出关于x，的二元一次方程组，求解即可．
（1）解：（秒），
故答案为：；
（2）解：设所接的这杯水的温度是，
由题意可得：，
解得：，
∴再接开水的时间为秒，所接的这杯水的温度是；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
23．在中，．
（1）如图①，若平分平分，则___________．
（2）如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________；
（3）如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2），
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理以及外角性质得到，求解即可；
（3）先根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得到，最后根据角的关系求解即可；
（1）解：，
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2）解：，
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
24．如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)．
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
（3）当将分成的两部分的面积比为时，求t的值．
（4）当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等于点P运动的距离与的差，求解即可；
（2）根据等腰三角形得出点P运动距离，求解即可；
（3）分为的面积与的面积是或，两种情况分析即可；
（4）分为点P在上，点P在上和点P在上，三种情况分析即可．
（1）解：∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
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