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辽宁鞍山市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若为异面直线，，，，则
4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上 下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56 B． C． D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．
6．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的共轭复数为
B．若为纯虚数，则
C．若，则
D．
10．的内角的对边分别为，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，是等腰三角形
D．当时，是等腰三角形
11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则（ ）
A．直线l与平面PAD有一个交点
B．
C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为
三、填空题
12．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________．
13．在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________
14．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ．
四、解答题
15．在直三棱柱中，，，，M为中点，．
(1)证明：平面；
(2)求四面体的体积．
16．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
(1)求A；
(2)若，求中线的长；
(3)若的内切圆半径，求的面积S.
17．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)证明：平面平面；
(3)若是的中点，点在线段上，求的最小值.
18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
19．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的正切值；
(3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C B A A D ABD ABD
题号 11
答案 BD
12．/
13．/
14．
15．(1)证明：在直三棱柱中，连接交于点O，连接，
由为矩形，得O为中点，又M为中点，则，
而平面平面，所以平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）在平面内过点作于，由平面，得，
而平面，则平面，
在中，，，则，
，由M为中点，得点到平面的距离，
又，所以四面体的体积为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得.
，
，又，则，
，又，
（2）在中， ，则，
在中，有，即，
在中，有，即，
又，则，
得 ，解得，得；
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，解得 或（舍），
所以.
17．(1)
(2)
由题意知平面，又平面，
所以，
而平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面；
(3)
【详解】（1）圆柱的底面半径，圆柱的侧面积，
圆柱的底面积为，所以表面积.
（2）略
（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上.
当三点共线时取得最小值，为，
，
，
所以在三角形中，由余弦定理可得：，
所以的最小值等于.
18．(1)；
(2).
【详解】（1），由正弦定理得：
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中，
所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，
由题意得：，
所以.
（2）由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，
故，
面积为
故面积的取值范围是.
19．(1)
在四边形中，因为，所以折叠后有，．
又，平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(2)
(3)
由（1）知平面平面，
设和的外心分别和，
因为、、、均在以为球心的球面上，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
过点作于，连接，
设，显然四边形为矩形，
所以．
在中，设（），
由及余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，，，，
由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
所以，
即，
所以，故当时，球的半径最小，
此时点与点重合，所以点在平面内．
【详解】（1）略
（2）由题意，又，故，
过点作交于，则，连接，，
因为平面平面，面面，平面，
且，所以平面．
因为平面，所以，同理，
因为，，，所以由余弦定理得，
所以，
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
所以在中，，
所以平面与平面夹角的正切值为．
（3）略
答案第1页，共2页
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