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辽宁大连市第二十四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.9 D．0.8
3．设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．若，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题
9．已知a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．数列有最小项
C． D．
11．若定义在R上的函数满足且是偶函数，，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．与图象关于直线对称
D．
三、填空题
12．已知，则的前10项和为________．
13．已知某种种子每粒发芽概率为0.8，现播种了300粒，对于没发芽的种子，每粒需要补种2粒，记补种的粒子数为X，则________．
14．若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
15．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示.
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润.
参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，.
16．已知数列满足，，．
(1)令，证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
17．已知函数．
(1)若的切线经过点，求此切线的方程；
(2)当时，，求实数的取值范围．
18．由甲、乙、丙三人组成的“挑战者队”向投篮高手A发起挑战，甲、乙、丙与A比赛一局获胜概率分别是，，，各局比赛结果相互独立．
赛制一：甲、乙、丙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于2局即为挑战成功；
赛制二：甲、乙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于1局即为挑战成功；
赛制三：甲与A最多进行五局比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局．当比赛进行到一方比另一方多得2分时停止比赛，否则继续比赛直至赛完五局．多得2分的一方赢得比赛．甲赢得比赛即为“挑战者队”挑战成功．
(1)若，，，分别计算赛制一、赛制二中“挑战者队”挑战成功的概率．
(2)若采用赛制三，令，，X表示比赛结束时比赛局数
（Ⅰ）求X的分布列．（计算结果用，表示）
（Ⅱ）证明：．
19．若定义在R上的函数的导函数为，．
(1)若，判断和的奇偶性；（直接写出结论即可）
(2)将在上的所有极值点按由小到大顺序排列构成数列，证明：是递增数列；
(3)对任意，都有，求正整数k的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D A B D BC ACD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15．(1)相关系数约为，回归方程为.
(2)第、年的利润约为亿元、亿元.
【详解】（1）由题中数据可得，
，
，
因此，
，，
故回归直线方程为.
（2）在回归直线方程中令，得.
令，得，
因此预测第、年的利润约为亿元、亿元.
16．(1)证明：因，，，则，
由，
故数列是等比数列，其首项为，公比为3，
故的通项公式为.
(2)
【详解】（1）证明略；的通项公式为；
（2）由（1）得，，
则，
不妨设，设数列的前n项和为，
则，
，
两式相减，可得
即，故得，
于是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题知，定义域为，
且，
设经过点的切线的切点为，
则，解得，
所以切线斜率为，
所以此切线的方程为，即.
（2）当时，，
等价于，
令，只需，
因为，
所以令，令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又，，
且，
所以存在唯一满足，使得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值在或处产生，
则因为，，
且，即，
所以，
因为，即，
所以，
所以的取值范围为.
18．(1)赛制一：；赛制二：；
(2)（Ⅰ）的分布列为：
2 4 5
（Ⅱ）由，得，令，则.
期望计算如下
该二次函数开口向上，对称轴为，在上单调递增，
因此当时取得最大值；将代入，
得到；故，得证.
【详解】（1）由题意得赛制一挑战成功的概率如下，
为
，
故赛制二挑战成功的概率为.
（2）（Ⅰ）一方连胜2局不可能出现第三局，，
而3局最多净胜1分无法满足差2分的停赛条件.
所以比赛结束时局数可能取值为2,4,5：
2局结束：前2局一方连胜2局，，
4局结束：前2局1:1，后2局一方连胜2局，，
5局结束：前4局双方2:2，打满5局结束，.
的分布列为：
X 2 4 5
P
（Ⅱ）略
19．(1)是偶函数，是奇函数；
(2)依题意，，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
令函数，求导得
，
函数，求导得，函数在上单调递增，
而，则，，
又，因此，函数在上单调递增，
则，
即，所以是递增数列.
(3)
【详解】（1）函数，，函数为偶函数；
依题意，，即，因此，
则，由，得，于是，
所以是奇函数.
（2）略
（3）由（2）同理得数列是递减数列，由函数在上递减，在上递增，
当时，，
，，则，
令函数，求导得
，函数在上单调递增，则，
即，因此，依题意，，
所以正整数k的最小值是1.
答案第1页，共2页
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