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青海西宁市2025-2026学年第二学期末调研测试卷高一数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列统计量中，能度量样本离散程度的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．标准差 D．众数
2．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．某网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（ ）
A．月收入的最大值为90万元，最小值为10万元
B．这一年的总利润超过400万元
C．这12个月利润的中位数与众数均为30万元
D．11月份的利润最大
6．如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A． B．当角越大时，用力越省
C．当时， D．当时，
二、多选题
9．已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环
10．设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，等边三角形的边长为2，边上的高为，沿把三角形折起，则（ ）
A．在折起的过程中始终有平面
B．三棱锥的体积的最大值为
C．当时，点A到的距离为
D．当时，点D到平面的距离为
三、填空题
12．设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为______．
13．如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________．
14．2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔的遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米．
四、解答题
15．长方体中，，，E，F，M分别为棱，，的中点．

(1)证明：E，C，，F四点共面；
(2)证明：平面平面．
16．在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若，求周长的最大值．
17．青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表：
增收额分组
户数 a 24 b 21 14
(1)已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）；
(2)从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率；
(3)估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量．
18．已知是坐标原点．
(1)若点A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
(3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围．
19．如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)若四面体的顶点在同一个球面上，求该球的体积．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C C C C ACD BD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．
15．(1)
连接.
长方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以.
又E，F分别为棱，的中点，所以，
所以，所以四点共面；

(2)
由（1）知，，
因为平面，平面，
所以平面.
又E，M分别为棱，的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面．

【详解】（1）略
（2）略
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
又因为，
即，
即，解得，
所以；
（2）因为，由（1）可知，
由余弦定理可得，
即，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，
当且仅当时，等号成立，
此时为边长为3的等边三角形.
17．(1)，，第三四分位数约为
(2)
(3)户
【详解】（1）增收额低于万元的是和两组，占比，总户数，
，解得，
，代入解得，
因为有户，累计户，有户，累计户，有户，累计户，
有户，累计户，有户，累计户，
由，可得落在这一组，
则第三四分位数为.
（2）增收额不低于万元的为组有户，组有户，户数比，
分层抽样抽取户，则组抽户，记为，组抽户，记为，
总基本事件有：
共个，
户都在内的事件只有个，
则抽取的2户增收额都在万元内的概率为.
（3）样本中不低于万元的户数为，
则样本中增收额不低于万元的频率为，
估计园区周边增收的户牧户中增收额不低于万元的牧户数量为
户.
18．(1)
(2)当时，的最小值为
(3)
【详解】（1），
，
三点共线，与共线，即，
，
解得：．
（2），
，
∴当时，
取得最小值．
（3）由题意，设，
则，所以，
，
因为，所以当时有最小值，
当时有最大值20，所以的取值范围为，
故的取值范围为．
19．(1)因为，平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
又因为平面，所以平面平面.
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）因为平面，平面，则，，
又因为，，则，即，
且，平面，则平面，
由平面可得，可知二面角的平面角为，
因为，，则，
所以二面角的大小为.
（3）取的中点为，连接，，
因为，则，
又因为平面，平面，则，
可得，即，
可知四面体的外接球圆心为，半径，
所以该球的体积为.
答案第1页，共2页
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