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广东汕头市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．在等比数列，则数列的前5项之和为（ ）
A． B． C． D．
5．形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲．共有多少种分法（ ）
A．6 B．15 C．9 D．12
6．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则该双曲线渐近线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的个球.其中有个新球和个旧球.每次从中随机抽取个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结束.设为游戏结束时抽取的次数，则的期望为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数z满足（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ）
A．，，不可能都相等
B．，，的方差也为3
C．该组样本数据的平均数有最值
D．的最小值为9
11．已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A．坐标为
B．当时，
C．若，则
D．过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
三、填空题
12．已知，是第二象限角，则__________．
13．如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________．
14．已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，．
(1)在图中作出平面与平面的交线为l（保留作图痕迹）；
(2)若，求证：平面平面．
16．在中，角的对边分别为．已知．
(1)求；
(2)若为边上一点，且，，求的值．
17．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是：①规定小朋友套娃娃成功次或套次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套次结束；②每次套娃娃费用是元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用元．每次套娃娃成功的概率为且相互独立．
(1)求小朋友一轮套娃娃成功的概率；
(2)记随机变量为小朋友一轮套娃娃的次数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每个娃娃价值元，每天有位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望．
18．定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E．
①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程；
②证明直线过定点．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D D A A D BD ABD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．10或11或17
15．(1)
(2)
证明：在等腰梯形中，，
过点B作交于点G，则，
在直角三角形中，，，得．
在中，由余弦定理，
得，
因为，所以，
又因，，，平面
因此平面，
而平面，
所以平面平面．
【详解】（1）
延长交于一点，连接，则平面平面，
理由如下：因为底面是等腰梯形，，，
又是边长为2的等边三角形
所以，，，,
故与必交于一点,所以平面平面.
（2）略
16．(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得：，
因为，所以，
所以，
化简得，而，所以，
又，所以.
（2）
因为，，所以，即，
在中，，所以，，
在中，，，，，
由余弦定理得：，
所以，即①，
在中，由，得，即②，
将②代入①中，得，
即，解得，
所以，
因为，所以，
所以．
17．(1)
(2)
的分布列为：
(3)
【详解】（1）由题意可知，小朋友套娃娃未成功的概率为，
则小朋友套娃娃成功的概率为；
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为：
．
（3）由（1）可知，小朋友套娃娃成功的概率为，
记摊主每天利润为元，则的期望为
，
故摊主每天利润的期望为元．
18．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，.
，.
故曲线在处的切线方程为
（2）因为在上存在1级“平移点”，
所以存在，使.
由，
得，
即，
即与图象有公共点，
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
因为，所以，，所以，
所以，所以.
19．(1)；
(2)①或；
②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为，
设，，所以，
所以，所以，
令得，
因为，，所以，
所以，
所以为直线所过定点．
【详解】（1）由题意得，所以，
又因为，所以，，
所以C的方程为．
（2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意；
当直线与y轴不垂直时，设，，，
不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，，
联立，消去x并整理得，
直线过椭圆的焦点，必有，，，
因为，即，所以，
所以，，
，，
所以，解得，，
所以或，
即直线的方程为或．
②略
答案第1页，共2页
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