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广东汕头市澄海区2025-2026学年高一第二学期期末质量监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．5
3．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ）
A．40 B．39 C．36 D．35
4．已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若实数满足，则与的值最接近的是（ ）（参考数据：
A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10
6．若，是方程的一个根，则（）
A． B． C． D．
7．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．2 C．0 D．1
二、多选题
9．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递增
D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数
11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则（ ）
A．平面
B．二面角的余弦值为
C．若点P在棱上，则的最小值为
D．若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为
三、填空题
12．已知向量，，若，则___________.
13．澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________．
14．在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________．
四、解答题
15．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
16．某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；
(3)若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.
17．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若直线是函数图象的对称轴（其中m是正实数），求m的最小值；
(3)若锐角满足，求的取值范围．
18．如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求三棱锥的外接球的体积．
19．已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)判断函数在上的单调性（不必证明）；
(2)求证：函数在内存在零点，且；
(3)在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值.
（参考数据：）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A C C ABC AC
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，可得，
又因为，则，所以，所以．
（2）解：因为的面积为，
可得，解得，
由余弦定理可得，所以，
所以的周长为．
16．(1)
(2)
(3)108
【详解】（1）由题意得
，解得.
（2）平均分为：.
（3）由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
因为
设复赛最低分数线为，则位于区间内，
故.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意有．
，
令，，
解得，
所以函数的单调递增区间是．
（2）令，，
所以，，
当时，，
所以m的最小值为；
（3）由，有，即，
由有：，所以，即，
又，所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
18．(1)证明：连接，与交于点E，连接，
因为O为侧面的中心，所以O为的中点，
连接OE，因为，，且，，
所以，且，
则四边形为平行四边形，
因为E为的中点，易知，
又平面，平面，
故平面．
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）连接，则，则，
易知四边形为平行四边形，
在正方体中，平面，
又平面，所以，
因为，
故平面，即平面，
所以为直线与平面所成的角，
在中，易求，，
所以，
则．
故直线与平面所成角的大小为．
（3）设三棱锥的外接球的球心为M，半径为R，
因为的外接圆的圆心为E，所以平面，
由（1）可知，，平面，所以平面，
因此球心M在线段上，
易求，，由，解得，
故三棱锥的外接球的体积为．
19．(1)单调递增
(2)因为，
.
所以，由函数零点存在定理可知，函数在内存在零点，
即，
因为
.
(3)3
【详解】（1）因为，令，则在上单调递增，
又是增函数，
所以在上单调递增.
（2）略
（3）由（2）知，，所以，，
又因为，且在上单调递增，
所以，即，，
所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
所以，即，
所以要使，则整数的最大值为3.
答案第1页，共2页
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