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2026年全国中考数学真题汇编
专题04　二次根式及其运算
一、单选题
1．（2026·云南·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川内江·中考真题）下列实数中，能使函数有意义的的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．（2026·河北·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ）
A． B．18 C． D．24
二、填空题
5．（2026·四川泸州·中考真题）函数的自变量的取值范围是____________．
6．（2026·江苏苏州·中考真题）若有意义，则的取值范围是_____．
7．（2026·广西·中考真题）计算：___________．
8．（2026·四川眉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
9．（2026·山西·中考真题）比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）．
10．（2026·天津·中考真题）计算的结果为______．
11．（2026·四川广元·中考真题）说明命题“如果为实数，那么”是假命题的的值可以为__________．（写一个即可）
12．（2026·四川巴中·中考真题）计算：__________________．
13．（2026·新疆·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________．
14．（2026·四川广元·中考真题）已知，则的值为__________．
15．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知是腰长为4的等腰直角三角形，，是的中点，连接，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接．当时，则的长为_________．
16．（2026·内蒙古·中考真题）如图，在矩形中，，，是它的一条对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），分别以点和点为圆心，大于长为半径，在直线的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点，连接，与交于点，则的长为____________．
17．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________．
18．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____．
三、解答题
19．（2026·江苏扬州·中考真题）计算：
(1) ；
(2)．
20．（2026·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中．
21．（2026·贵州·中考真题）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，求的周长．
22．（2026·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中．
23．（2026·甘肃天水·中考真题）计算：．
24．（2026·四川巴中·中考真题）计算：
(1)；
(2)求不等式组的解集；
(3)先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值．
25．（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题：
(1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：．
(2)已知多项式，，求．
26．（2026·北京·中考真题）计算：．
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参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D D A A
1．D
根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果．
解：由题意得：，解得．
2．D
根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可．
解：由题意得，，
，
∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意．
3．A
解：．
4．A
利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可．
解：在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的周长为．
5．
根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围
解：由题意得，，
解得，
6．
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围．
解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义，
∴．
解得．
7．6
本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
解：，
故答案为：．
8．
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
9．
先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小．
解：．
10．7
本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可．
．
故答案为：7．
11．
（答案不唯一，任意负数均可）
要说明命题为假命题，只需举出满足条件但不满足结论的反例，根据二次根式的性质，当时，，因此任取一个负实数即可．
解：取，，满足命题条件，不满足命题结论，可说明原命题是假命题．
∴的值可以为（答案不唯一，任意负数均可）．
12．
本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果．
解：
13．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果．
解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ，
解得．
14．
将，变形后得出，再利用完全平方公式得出，再通过整体代入简化计算即可；
解：∵，
∴，
两边同时平方得，
展开得，
整理得，
将代入得原式．
15．或
第一种情况是点F在点C的右侧时，根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值．
解：作于点G，如图所示，
∵，，点D是的中点，
∴，，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F运动到点时，此时，
同理可得，，，
∴；
综上所述，的长为或．
16．
根据题干构造图形，连接，由作图可知垂直平分，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据等面积法计算即可．
解：如图，连接
由作图可知，
即垂直平分，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
17．或/或
本题需分两种情况讨论，点F在线段上和点F在的延长线上，设菱形边长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
解：设菱形的边长为，
∴，，
点是的中点，
，
，
，
，
为平行线与之间的距离，即．
分两种情况讨论：
情况1：点在线段上，
过点作，交直线于点．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
又
，为直角三角形，，
在中，由勾股定理，得
，
．
情况2：点在的延长线上，
在中，由勾股定理，得
，
．
18．
设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可．
解：设，，则，，，，
∴，，
代入原方程可得，
整理，得，
变形，得，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，符合题意，
∴，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
19．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．
原式化简结果为，值为
解：
，
当时，原式 ．
21．(1)证明：∵四边形是正方形，
∴
∵点是边的中点，
∴
∴；
(2)
（1）根据正方形的性质结合即可证明；
（2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长．
（1）略
（2）解：∵四边形是正方形
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴的周长．
22．
，
根据分式的运算直接进行化简求值即可．
解：
当时， 原式．
23．
解：原式
．
24．(1)
(2)
(3)，当时，值为
（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并同类项得到最终结果．
（2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集．
（3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的，将合适的代入得到计算结果．
（1）解：
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
（3）解：
根据分式有意义的条件，可得，，即且．
∴代入，原式．
25．(1)1
(2)
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：将，代入得：
．
26．
解：原式
．
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2026年全国中考数学真题汇编
专题 04 二次根式及其运算 试卷分析
一、单选题 1 0.93 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
2 0.95 求自变量的取值范围；二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
3 0.85 二次根式的乘法
4 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；根据旋转的性质说明线段或角相等；复合二次根式的化简；用勾股定理解三角形
二、填空题 5 0.95 求自变量的取值范围；二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
6 0.95 二次根式有意义的条件
7 0.94 二次根式的乘法
8 0.94 二次根式有意义的条件
9 0.95 利用二次根式的性质化简
10 0.85 运用平方差公式进行运算；二次根式的乘法
11 0.85 举例说明假（真）命题；利用二次根式的性质化简
12 0.85 运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算
13 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
14 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值；利用二次根式的性质化简
15 0.4 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；二次根式的乘法；用勾股定理解三角形
16 0.4 根据矩形的性质求线段长；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
17 0.4 利用菱形的性质求线段长；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
18 0.4 通过对完全平方公式变形求值；二次根式有意义的条件；求一个数的平方根
三、解答题 19 0.85 积的乘方运算；零指数幂；二次根式的加减运算；特殊角三角函数值的混合运算；运用完全平方公式进行运算
20 0.85 实数的混合运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的乘法；整式的加减中的化简求值
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用二次根式的性质化简；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
22 0.65 分式化简求值；分母有理化
23 0.75 利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
24 0.61 实数的混合运算；分式化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；求不等式组的解集；特殊角三角函数值的混合运算
25 0.75 新定义下的实数运算；二次根式的乘法；整式的加减运算
26 0.77 零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算

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