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2026年全国中考数学真题汇编
专题07 一元二次方程及其应用练习
一、单选题
1．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
3．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
4．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．2
8．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____．
11．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
12．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________．
13．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
14．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________．
15．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．
16．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____．
17．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______．
18．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______．
19．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________．
20．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________．
三、解答题
21．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍．
(1)求该轮船的航行速度；
(2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
22．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程．
23．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：．
24．（2026·新疆·中考真题）解决问题：
(1)解方程：；
(2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形的面积为100，正方形的面积为4，求的长．
25．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
26．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？
27．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
28．（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点．
【性质初探】
(1)随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
(2)求证：的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
(3)图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由；
(4)已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个．
①求关于的函数解析式；
②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点．
29．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出点的坐标；
(2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离．
30．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1 2 3 4 5
50 100 150 200 250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D A B D C D D B
1．A
利用根的判别式的符号即可得出结论.
解：∵对于一元二次方程，，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
2．D
将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可．
解：∵是方程的一个根，
∴将代入原方程，得，
整理得，
移项得，
两边同除以，得．
3．A
计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
解：对于一元二次方程，可得，，，
，
又无论取任意实数，都有，
，即，
该方程有两个不相等的实数根．
4．B
解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场，
∴可列方程．
5．D
对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断．
解：对于一元二次方程，判别式为．
选项A：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项B：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项C：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项D：方程为，，
，方程没有实数根．
6．C
根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可．
解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ，
∴4月份产量为台 ，
∴5月份产量为台 ，
又∵5月份实际产量为台 ，
∴可列方程为．
7．D
利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值．
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
展开整理得，
即，
∴，得，
∵，
等式两边同除以得．
8．D
利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
解：∵，
∴，
∴或，
解得或，
∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，
∴该菱形的面积为．
9．B
当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
根的判别式满足，其中二次项系数，常数项，
代入得，，
整理得，，
解得，．
10．
根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
解: 因为是方程的根，
将代入方程得：，
整理得，
移项得．
11．
当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可．
解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
12．
先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可．
解：对于一元二次方程 ，两个根为，
根据根与系数的关系可得： ，
∵
∴将，代入得：原式．
13．
先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．
解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
14．
设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．
解：设一元二次方程的两根分别为，．
根据根与系数的关系可得，．
整理得．变形得．
解得．
将代入得．
验证判别式：，符合题意．
15．
先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果．
解：，是关于的一元二次方程的两根
方程的根的判别式
即
解得 ，
由根与系数的关系可得：
，
代入得：
移项，系数化为1得：
，两个不等式解集的交集为．
16．/
利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可．
解：，且都不为，
，
，
设则，原式，
，
，当时，原式取得最小值，
即的最小值为．
17．
根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可．
解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ，
∴，，
∴．
18．或
设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值．
解：设，，
令，得
，
由根与系数的关系得，，
，
∵，
∴，
两边平方得，
整理得，
因式分解得，
解得或．
19．
设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可．
解：设菱形的边长为，
四边形是菱形，
，，
点为边的中点，
，
，
，
过点作交的延长线于点，过点作于点，如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，，
在中，∵，
，
，
，
在中，∵，
，
，
∴，
∴，
将代入①得，
即，
解得（负值舍去）．
20．
设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果．
解：设，，
则两个函数都经过点，对称轴分别为和，
∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，
∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标，
∵，
∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧，
∴，，
∴，，
∴两条抛物线的开口向上，
∵，
∴抛物线的开口大于抛物线的开口，
∴，
∵两条抛物线与轴都有两个交点，
∴，，
∴，，
综上：．
21．(1)该轮船的航行速度为
(2)点，间的距离为.
（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）作于点，设，则，分别解和，即可.
（1）解：由题意，得
∴，
∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，
∴
作于点，
则，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
故该轮船的航行速度为；
答：该轮船的航行速度为；
（2）解：作于点，
∵点到的距离是到的距离的2倍，
∴设，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得或（舍去）；
∴；
故点，间的距离为.
22．，
方程移项后运用因式分解法解答即可．
解：，
，
，
或，
，．
23．，
解：
或
，．
24．(1)
(2)6
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）根据正方形的面积求出边长，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
经检验，当时，，
分式方程的解为；
（2）解：正方形的面积为100，正方形的面积为4，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：或（舍），
即的长为6．
25．(1)每月产量的增长率为 .
(2)应降价元，最大利润为 元.
（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果；
（2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．
（1）解：设每月产量的增长率为，
根据题意列方程得: ，
解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为；
（2）解：设降价元，每天总利润为 元，
根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，
∴，
，
当时， 取得最大值，最大值为，
答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元．
26．(1)
(2)该款文创产品每件的售价为35元．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可．
（1）解：设与的函数表达式为，
将点和点的代入得：，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
尽可能的让利于顾客，
，
即该款文创产品每件的售价为35元．
27．(1)
证明：∵原方程为，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
的值为或
（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值．
（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
代入得：，
整理得，
解得或．
28．(1)增大
(2)证明：函数与轴，轴分别交于，两点，
令，得，
，，
令，得，
，两边除以得，
解得，
，，
(3)存在，函数解析式为和
(4)① ；② 示例：点符合条件，验证见解析（答案不唯一）
（1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性；
（2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论；
（3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式；
（4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式；
② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可．
（1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大.
（2）略
（3）解： 将代入得： ，
整理得，
解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数，
当时，解析式为，
当时，解析式为.
（4）① 解： 将代入
得： ，
整理得，
函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式，
令得，
不在坐标轴上，
，
整理得.
② 验证： 取，得，即，
代入得，
解得，满足， 函数解析式为，
令得，
，
令得，
，
中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点.
29．(1)
(2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为：
(3)
（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标．
（2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式．
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离．
（1）解：为原点，为轴，，
，
点到的距离，，
∴，
∴，
．
（2）解：设直线的函数表达式为：，
将、代入得：，
解得，
直线的函数表达式为：．
顶点到的距离为，到的距离为，
，
∴设抛物线的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为：．
（3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元，
∴栅栏总长为，
，
设点的坐标为，且，
点到铁路的距离小于，
，
点在抛物线上，
，
，
设点的坐标为，且，
点在直线上，
，
，
，
，
整理得：，
又，
，
将代入，整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
栅栏到铁路的距离为．
30．(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元
(2)的值为或，收入与的新关系式为
(3)，理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值．
（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，
将，代入得，
∴与的函数关系式为，
当时，（元）；
（2）解：收支平衡满足，
∴
解得，，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入与的新关系式为；
（3）略
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2026年全国中考数学真题汇编
专题 07 一元二次方程及其应用 试卷分析
一、单选题 1 0.85 根据判别式判断一元二次方程根的情况
2 0.85 由一元二次方程的解求参数
3 0.85 根据判别式判断一元二次方程根的情况
4 0.85 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
5 0.85 根据判别式判断一元二次方程根的情况
6 0.85 增长率问题(一元二次方程的应用)
7 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数
8 0.65 因式分解法解一元二次方程；利用菱形的性质求面积
9 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；根据一元二次方程根的情况求参数
二、填空题 10 0.95 由一元二次方程的解求参数
11 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数
12 0.84 提公因式法分解因式；一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
13 0.85 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数；根据一次函数增减性求参数
14 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
15 0.65 求一元一次不等式的解集；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
16 0.65 配方法的应用
17 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值
18 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；抛物线与x轴的交点问题
19 0.4 解一元二次方程——直接开平方法；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
20 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；根据一元二次方程根的情况求参数；抛物线与x轴的交点问题
三、解答题 21 0.52 公式法解一元二次方程；方位角问题(解直角三角形的应用)
22 0.65 因式分解法解一元二次方程
23 0.71 因式分解法解一元二次方程
24 0.65 以弦图为背景的计算题；因式分解法解一元二次方程；解分式方程（化为一元一次）
25 0.56 增长率问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
26 0.65 求一次函数解析式；营销问题(一元二次方程的应用)
27 0.52 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
28 0.42 因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数；一次函数图象与坐标轴的交点问题；中点坐标；判断一次函数的增减性
29 0.42 公式法解一元二次方程；求一次函数解析式；写出直角坐标系中点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)
30 0.42 y=ax +bx+c的最值；因式分解法解一元二次方程；求一次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)

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