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2026年全国中考数学真题汇编
专题12一次函数的运用与几何综合压轴题
一、单选题
1．（2026·贵州·中考真题）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏扬州·中考真题）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____．
6．（2026·山西·中考真题）某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超过20000册时，投入成本（元）与印刷数量（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示．当印刷数量为5000册时，投入成本是________元．
印刷数量（册） 0 500 1000 1500 … 20000
投入成本（元） 24000 27000 30000 33000 … 144000
7．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________．
三、解答题
8．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ．
(1)求 、 的值和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)，两地之间的距离为 米，图中的值为 ；
(2)求线段所在直线的函数解析式；
(3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可）
10．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）
(1)①求，的值；
②计算路线3的长度．
(2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时．
11．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？
12．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且．
(1)若点的坐标为，求的值和点的坐标；
(2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围；
(3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值．
13．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集；
(3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标．
14．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标；
②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求线段的长；
(2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D B D B
1．D
根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形的中心坐标，再结合点的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边的交点坐标即可．
解：矩形的长为，宽为，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，
点，点，点，点，
直线将矩形分成面积相等的两部分，
该直线必经过矩形的对称中心（即对角线的中点），
设矩形中心为点，则点的坐标为，即，
设过点和点的直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
点，点，
线段在直线上，
令，则，解得，
该直线与矩形边的交点坐标为．
2．B
设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系．
设，
点在反比例函数图象上
点在反比例函数图象的上方
，即
点在一次函数图象上
，即
∵矩形
∴，
点在一次函数图象的下方
，即
∵矩形
∴，
∴
综上所述，，．
3．D
根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断．
解：在 中，，，，
，，．
分三种情况讨论：
①当时，点在上，点在上，，，
过点作于点，
则，
，
此时图象为开口向上的抛物线，当 时，；
②当时，点在上，点在上，过点作于点
，，
∴，
，
此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，；
③当时，点在上，点到达点停止运动，
此时（即变为），，
以为底，为高，
，
此时图象为线段， 当时，；
当时，．
综上所述，图象D符合题意．
4．B
首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，，，求出阴影部分和各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分和均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解．
解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，
∵轴，轴，
∴，，
由图可知，过，；过，；过，；过，，
设的直线解析式为，
将代入上式，则，
∴的直线解析式为；
同理可得另外三条直线的解析式分别为：，，，
∵直线与 的斜率均为 ，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
∴，
联立与得：，解得：，则，
∴；
联立与 得：，解得：，则，
∴；
联立与得：，解得：，则，
∴；
联立与 得：，解得：，则，
∴；
∴阴影部分的面积．
阴影部分的面积．
∴．
5．
由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标．
解：由旋转的性质可知：，
设直线的函数解析式为，
把代入得，解得，
直线的函数解析式为
设直线的函数解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的函数解析式为，
联立，解得，
，
将点向左平移2个单位长度得到点，
．
6．54000
根据表格数据可判断投入成本与印刷数量满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式计算即可得到结果．
解：由题意，设，将，代入解析式得：
解得
∴函数解析式为，
当时，．
7．1或或
设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解．
解：设，依题意，
∴或
∵中，，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点有且仅有三个
∴方程有且只有一个解，
∴
∵
∴
所以方程，
∴
∴
∴
解得：
解方程
∴
解得：
综上所述，点的横坐标为1或或
8．(1) ，；
(2)
（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；
（2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解．
（1）解：∵一次函数 的图象经过点、，
，，
解得 ，，
、，
∵反比例函数的图象经过点，
，
∵反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点，
令，则，即：，
，
又，，
．
9．(1)3600，6
(2)
(3)5分或7分或20分
（1）由图可知距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出的值；
（2）由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，根据甲、乙速度得到，设解析式为，根据待定系数法求解即可；
（3）先求出n的值，进而分四种情况作答即可．
（1）解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米；
甲乙相向而行，速度和为米/分，
相遇时间（分），
因此；
（2）解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，
甲走完全程的时间为分钟，
此时乙走了米，
因此甲乙距离为2400米，
即．
设解析式为，代入两点坐标：
，
解得：，
因此的解析式为：；
（3）解：由图象可知，两地距离为米．
乙从匀速跑到，速度为米/分，
因此乙走完全程的时间为：分钟
即图中点对应的时间分钟，
此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米，
因此，
即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟，
乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟，
设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算：
阶段1：相遇前（），
甲乙相向而行，两人距离满足：，
令，解得：，符合范围，是有效解；
阶段2：相遇后，甲未到B地（），
相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：，
令，解得：，符合范围，是有效解；
阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（），
甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：，
该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解；
阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（），
乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：，
令，解得：，符合范围，是有效解；
综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米．
10．(1)①；②千米
(2)分钟
（1）①由题意得，，再用待定系数法求解即可；②先得到，然后将代入，解方程即可；
（2）求出海拔差为，然后代入求解即可．
（1）解：①由题意得，，
代入两组数据得，
解得；
②由①得，
路线3同样从A到M，海拔差仍为，
将代入，得
解得
即路线3的长度为5千米；
（2）解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为；
山顶M海拔为，因此海拔差：
将代入得，
即预估用时为135分钟
11．322元
设销售额为，销量为，由图象先可得降价前的函数表达式为，可得降价前的单价为3元/千克，则降价后单价为2.5元/千克，可得降价后的函数表达式为，则可得总销量为160千克，则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数．
解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴降价前的函数表达式为，
∴降价前的单价为3元/千克，
∴降价后单价为2.5元/千克，
设降价后的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴降价后的函数表达式为，
当时，，
解得，
∴总销量为160千克，
∴留作下一季的种植基金为（元），
∴捐给福利院（元）．
答：该班级本次共捐给福利院322元．
12．(1)，点的坐标为
(2)的取值范围是
(3)点E的坐标为，
（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标；
（2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解；
（3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标．
（1）解：将点代入，
则，
解得：，
，
联立，可得，
解得：，，
点的坐标为，
点的横坐标为，
将代入得，
点的坐标为；
（2）解：，
设的函数解析式为：，
联立，
则，
由根与系数的关系得，
函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：，
则，即，
解得：；
（3）解：设的函数解析式为：，
联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
同理，联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
，，
，
，整理得，
即，
设，
如图，
、、三点共线，
∴直线的k值与直线的k值相等，
，
化简得，，则，
同理由、、三点共线得，
，
整理得，，
，，，
，
解得：，
，
解得：，
，，
，
，
点的坐标为，的值为．
本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．
13．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)或
(3)或
（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案；
（3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长即可得到答案．
（1）解：把点代入反比例函数的表达式得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
把点代入得，
∴，
∴点B的坐标为，
把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或；
（3）解：如图所示，设直线交x轴于点D，
在中，当时，，解得，
∴点D的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的横坐标为或点C的横坐标为，
∴点C的坐标为或．
14．(1)；
(2)①；②6；
(3)存在，Q的坐标为，
（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可；
（2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值；
（3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况．
（1）解：，，
，，
，，
将，代入中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图，
当时，，
∴，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
，
在中，，
设的解析式为，
将和代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
设，则，
为第一象限内的点，
，
∵，
当时，最大，即当取最大值时，最大，此时；
②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图，
∵，且，
∴，
∵，
，
∴
当，，三点共线时，最小，为，
∵，，
∴，
，
的最小值为6；
（3）解：由（2）得，点坐标为，
∴，，
在中，，
设的中点为G，连接，如图，
则G的坐标为，即，且，
∵为等边三角形，
∴，且，
在中，，
设，由得，
解得，
又∵，
∴
将代入，得
解得或，
当时，，即；
当时，，即，
综上所述，点Q的坐标为和．
本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置．
15．(1)
(2)点P的坐标为或
(3)是定值，
（1）将代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出，最后根据两点距离公式求解即可；
（2）设，，分三种情况讨论直角位置： ①，②，③，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）设平移距离为，则，，，求出直线的解析式，与联立，求出点，求出的解析式，直线的解析式，联立后求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答．
（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即，
将代入得，直线为，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，
∴，
由两点距离公式：；
（2）解：设，，
分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得，
则，
化简得，
故（负值已舍去），
即；
②：由勾股定理得，
则，
解得，
即；
③：由勾股定理得，
则，
解得：，不符合，舍去；
综上，若为直角三角形，则或；
（3）解：根据（1）可知，
∴，
设平移距离为，则平移后各点坐标：，，，
设直线的解析式为，
代入点和点得，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线的解析式与联立得，整理得，
解得：或，
∴点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式和直线的解析式得，
解得：，
即交点的横坐标，
过点分别作轴，轴，
则，
∴，
∵，
∴．
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2026年全国中考数学真题汇编
专题 12 一次函数的运用与几何综合压轴题试卷分析
一、单选题 1 0.65 一次函数与几何综合；根据矩形的性质求线段长；中点坐标
2 0.65 反比例函数与几何综合；一次函数与几何综合；一次函数与反比例函数的交点问题；根据矩形的性质求面积
3 0.4 动点问题的函数图象；解直角三角形的相关计算；一次函数与几何综合；图形运动问题(实际问题与二次函数)；用勾股定理解三角形
4 0.65 一次函数与几何综合；利用平行四边形的判定与性质求解
二、填空题 5 0.4 由平移方式确定点的坐标；两直线的交点与二元一次方程组的解；求一次函数解析式；求绕原点旋转90度的点的坐标
6 0.65 其他问题(一次函数的实际应用)
7 0.4 由一元二次方程的解求参数；解一元二次方程——配方法；一次函数与几何综合
三、解答题 8 0.62 求直线围成的图形面积；求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题
9 0.52 行程问题(一次函数的实际应用)
10 0.65 其他问题(一次函数的实际应用)
11 0.6 其他问题(一次函数的实际应用)
12 0.32 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；一次函数与几何综合；求一次函数解析式；一元二次方程的根与系数的关系
13 0.52 求反比例函数解析式；一次函数与几何综合；求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题
14 0.38 其他问题(二次函数综合)；解直角三角形的相关计算；一次函数与几何综合；等边三角形的性质；已知两点坐标求两点距离
15 0.04 反比例函数与几何综合；一次函数与几何综合；一次函数与反比例函数的交点问题；由平行截线求相关线段的长或比值；坐标系中的平移；已知两点坐标求两点距离

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