资源简介

2026年全国中考数学真题汇编
专题15二次函数的最值
一、单选题
1．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论：
①二次函数图象与轴的交点坐标是；
②二次函数的顶点坐标是；
③若二次函数图象经过、两点，且，则；
④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________．
6．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________．
三、解答题
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值及最大时点的坐标；
(3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ；
(4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ．
8．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______；
②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______；
③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标．
9．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求，的值．
(2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．
①求线段长度的最小值；
②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使 若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
10．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点．
(1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上；
(2)当时，二次函数的最大值为9，求的值；
(3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值．
11．（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”．
(1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值．
(2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”．
①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标．
②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值．
12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N．
(1)如图2，若，求的值；
(2)如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______；
(3)求点E运动过程中的最大值．
13．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点．
(1)求的值及抛物线的函数表达式；
(2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由．
14．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程．
15．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点．
(1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式；
(2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标．
16．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为．
(1)填表：
图象 对应的函数解析式 点的坐标
（__________，__________）
__________ （__________，__________）
(2)观察图象，解答下列问题：
①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小；
②当时，，求的取值范围．
(3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，．
①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当时，直接写出的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A B C D
1．A
先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象．
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，的最小值为，
分三种情况讨论：
①当在对称轴左侧，即，
解得时，随的增大而减小 ，
当时，取得最小值；
②当包含对称轴，即，
解得时，的最小值为顶点的纵坐标，
；
③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ，
当时，取得最小值，
综上所述，与的函数关系为：，
观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段；
当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意．
2．B
根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误．
解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确．
对②：对函数配方得，
∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误．
对③：代入坐标得，，∵，
∴，化简得，结论错误，③错误．
对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论：
若，即，二次函数随的增大而增大，，不含；
若，即，二次函数随的增大而减小，
，不含；
若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含；
因此的值与无关，④正确．
综上，正确结论共个．
3．C
设，则，然后证明，表示出，再由二次函数的性质求解即可．
解：设，则
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，
将代入得，．
4．D
本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④．
解：①抛物线开口向上，
，
∵与x轴的两个交点坐标分别为，
∴对称轴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，
故①正确；
，
由和可得，
故②结论错误；
③当时，抛物线有最小值，，
∵，，
∴当时，随增大而减小，当时，；当时，；
∴，
故③正确；
④方程有实数根，
，即.
，
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
5．/
首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值．
解：过A作，使，连接、．
∴,
∵，
∴；
又，
设，则．
由旋转性质，得，，
，
又,
，
∴．
在中，，
在中，由勾股定理得，
代入、，
化简得：，
∵，
∴抛物线开口向上，
故当时，取最小值，故
，即．
6．
过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可．
解：过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，
由勾股定理得
，
∵，，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
7．(1)
(2)的最大值为2，此时点的坐标为
(3)或
(4)
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得；
（4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解．
（1）解：将，代入抛物线的解析式，得
，解得．
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，
当时，．
．
设直线的解析式为，
，
∴，则，
∴直线的解析式为，
轴，．
，
，
∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为；
（3）解：对于，当时，，则，
∵，，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
分两种情况：
当点Q在x轴上方时，如图，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得或（舍去），
∴；
当点Q在x轴下方时，如图，过作轴，
设，则，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得或（舍去）
∴，
∴，
综上，满足条件的Q的坐标为或；
（4）解：如图，作轴，轴
由（2）知，，，直线的解析式为，
,
，且，
在和中，，
，
，
设，则，
是的中点，
∴
∵，，
为等腰直角三角形，
，
设直线的解析式为， 代入，得，
直线的解析式为，
∵于F，
∴设，且与x轴所形成的锐角为，
如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K，
则，
是等腰直角三角形，
∴，即，可得，
∴，则，
∴，
如图，设，
∴，
∴，
问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，
设点G关于直线的对称点为，则，
则的最小值为的长度，
∵，
∴的最小值为．
8．(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为
(2)① ② ③点M的坐标为或
（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围；
②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围；
③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时，
第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可．
（1）解：将点和分别代入，得
，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴它的顶点坐标为；
（2）①解：根据题意知点，
当时，，
∴，
当点N在点M上方的抛物线上时，
∵矩形R的垂直高度，
∴，
∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为；
当点N在点M下方的抛物线上时，
∵矩形R的垂直高度，
∴，
当时，，解得(舍去)或，
∴，此时，矩形宽度的最大值为．
综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ；
②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，
∵矩形R的水平宽度，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴矩形R的垂直高度h的取值范围是；
③解：根据题意设，则，
第一种情况：当，即时，，
∴(舍去)；
第二种情况：当，即时，，
∴或(舍去)，
当时，，
∴；
第三种情况：当，即时，，
∴或(舍去)，
当时，，
∴；
第四种情况：当时，，
∴(舍去)；
综上，点M的坐标为或．
9．(1)；
(2)①线段长度的最小值为；②．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可．
（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得；
（2）解：①由（1）得，
∴抛物线的解析式为，
设，
∴，
令，，
∴，
∴当时，线段长度的最小值为；
②设，，
设直线的解析式为，
∴，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
∵，，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
∵，，
∴，
∴，的底边相同，
∴，
∴，
∴（舍去正值），
∴
∴直线的解析式为．
10．(1)，点不在直线上
(2)的值为或
(3)
（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可；
（2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可；
（3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可；
（1）解：如图，
对于，当时，则，
解得，
∴，，
若，则，
∴，
∵将点绕点顺时针旋转得到点．
∴
∴，
设直线，
则
解得
∴直线；
对于，当时，，
∴
由可得对称轴为直线，
∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为，
当时，，
∴点不在直线上；
（2）解：由（1）可得，，
∴对称轴为直线，
当，即时，
∵抛物线中，，则抛物线开口向上，
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
整理得，，解得或（舍去）；
当，即时，
若，即时，此时离对称轴更远，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去；
若时，即，此时离对称轴更远，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去；
当，即时，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
整理得，，解得或（舍去）；
综上：的值为或；
（3）解：∵，
同（1）可求
对于，对称轴为直线，
∴把代入可得，，
∴，
设直线，则，解得，
∵，
∴设直线，
代入，则，解得，
∴直线，
当时，，
∵，
∴当时，取得最小值为；
11．(1)；
(2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或
（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可；
②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可．
（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12，
∴，
∵点和点在抛物线上，
∴，
解得：；
（2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，
由（1）得，
∵点，的纵坐标相等，
∴，
解得：，
∴，
∴点的横坐标为，点的横坐标为；
②由（1）得，
对称轴为：，
当时，，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴
解得：，
∴抛物线与x轴的交点为，
∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时，
∴点的横坐标为：，，
当时，，
∵抛物线与x轴的一个交点为，
∴当，时，如图所示：
点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点，
∵即，
即，
∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，
∴点N到轴的距离为，
此时点N的纵坐标为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当，时，如图所示：
点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点，
∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，
∴点N到轴的距离为，
此时点N的纵坐标为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当时，，
点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N，
∴，
∴即，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
综上可得：或．
12．(1)1
(2)，
(3)
（1）根据翻折可得，根据角平分线定理可得平分，可得，进而可得，即可求出的值；
（2）根据翻折可得，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法计算即可，再证得四边形为矩形，，得到，即可解出的长；
（3）如图，延长交于，连接，证明，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后表示出后利用二次函数的性质求解．
（1）解：∵，，且，
∴平分，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：延长交于，
∵正方形的边长为1，且E为中点，
∴，，，，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，，，
在中，，
∵，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图，延长交于，连接
由翻转得，点A，M，F三点共线，
∴
由（2）得，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
设，
∴，，
∴
∴
整理得，
∴
∵
∴当时，取得最大值．
13．(1)，
(2)
(3)存在，、、、
（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式；
（2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解；
（3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解．
（1）解：∵直线与轴交于点，
∴把，代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∵直线经过点，且点在轴上，
∴令，得，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
∴把代入，得，
解得，
∴，
综上所述，，抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形的周长为：，
∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值，
∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵、在直线上，且，在上方，
∴设，，
如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、，
在四边形中，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，在直线上，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点在与直线的交点处时，最小，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴；
（3）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴令，得，
解得：或，
∵在左侧，
∴，，
∵由（1）知，，
∴，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，，
∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合，
∵，，
∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴平移后对称轴为直线，
∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵，，
∴，，
，
若，如图：
则，
∴，
解得，
∴，
若，如图：
则，
∴，
解得或，
∴或，
若，如图：
则，
∴，
解得，
∴．
14．(1)
(2)，
(3)点M的坐标为或，
过程如下：
∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，
∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位，
∴，
∵，点B的对应点为F，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为，
∴直线与直线与x轴所成的夹角相等，
∴，
∴，
情况1：
如图，取点，当点N在x轴上方时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点N在直线上，
∴设，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴可得直线的表达式为，
∴将和联立得，，
解得，（舍去），
∴；
情况2：
如图，当点N在x轴下方时，
过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
此时直线与抛物线的交点即为所求的M，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，即，
设直线的解析式为，
将点C，K分别代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入，，
∴直线的解析式为，
将和联立得，
解得，（舍去），
∴，
综上所述，点M的坐标为或．
（1）利用待定系数法求解；
（2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可；
（3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可．
（1）解：将，代入得，
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
设所在直线表达式为，
∴
∴
∴所在直线表达式为，
∵P是线段上方抛物线上的一动点，，
设过点P与平行的直线的表达式为，
∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，
联立直线与抛物线，
得：，
∴
整理得，
∴
解得，
代入得，
解得，
将代入
∴此时；
如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，
∴，
∴，
∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∵轴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，
∴当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）略
15．(1)；
(2)
(3)点P的坐标为或
（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可．
（2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可．
（3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案．
（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：，
将点代入得：，
解得或，
将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：，
将点代入得：，
解得或，
∴公共解为，
把代入，
得出抛物线对应的函数表达式为；
令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴，
设的解析式为，
则，
解得
∴直线对应的函数表达式为．
（2）解：如图1，设直线l：，
，，
．
∵直线l与抛物线和直线都相交，
∴可列方程
得．
，
∵抛物线的对称轴是，
，
．
又，
．
∵，
∴抛物线开口向上，
又，
∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为，
．
即．
（3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E．
∵抛物线，
∴顶点．
∴，
由（1）可知，，，，，，，
∵，
，
．
与相似，
∴点P在点B的左侧．
∴存在或．
当时，
则，
得
．
∴点．
当时，
有，
得
，
∴点．
综上，使与相似的点P的坐标为或．
16．(1)，，
(2)①或；②
(3)①是；②或或
（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解；
（2）①根据函数图象，即可求解．
②令：，求得的值，结合函数图象即可求解；
（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解；
②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解．
（1）略
（2）①略
②令：，
解得：（舍去），
如图，
又∵
根据函数图象可得：当时，
（3）①∵，：，
点为上一点，横坐标为，则，
点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
点为上一点，横坐标为，，即
∴点，是平移前后的一组对应点；
②解：∵点为上一点，横坐标为3．
∴时，，则，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
即
∴，
情形一：当时，点在轴及其上方部分，
最高点为，
（i）如图，当时，最低点为
∴
当时，，
此方程无解，不存在此情形；
（ii）如图，当时，最低点为
∴
当时，
解得：（舍去）或
情形二：当时，此时如图，
最高点为点，则
最低点为，则
当时，，
解得：或（舍去）；
情形三：当时，
最高点为点，则
最低点为，则
当时，，
解得：（舍去）或，
综上所述，当时，或或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共5张PPT)
2026年全国中考数学真题汇编
专题 15 二次函数的最值 试卷分析
一、单选题 1 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值
2 0.45 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；求抛物线与y轴的交点坐标
3 0.54 y=ax +bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长
4 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的最值
二、填空题 5 0.4 根据旋转的性质求解；y=ax +bx+c的最值；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形
6 0.4 根据正方形的性质求线段长；y=ax +bx+c的最值；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
三、解答题 7 0.32 解直角三角形的相关计算；y=ax +bx+c的最值；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)；坐标与图形综合；最短路径问题；角度问题(二次函数综合)
8 0.15 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；已知二次函数的函数值求自变量的值；求不等式组的解集；待定系数法求二次函数解析式
9 0.4 y=ax +bx+c的最值；一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
10 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据旋转的性质求解；y=ax +bx+c的最值；求一次函数解析式；坐标与图形变化——轴对称
11 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
12 0.24 y=ax +bx+c的最值；正方形折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
13 0.4 利用二次函数对称性求最短路径；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)；已知两点坐标求两点距离；利用平行四边形的判定与性质求解
14 0.38 解直角三角形的相关计算；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形；角度问题(二次函数综合)
15 0.42 其他问题(二次函数综合)；解直角三角形的相关计算；抛物线与x轴的交点问题；二次函数图象的平移；相似三角形问题(二次函数综合)
16 0.36 由平移方式确定点的坐标；二次函数图象的平移；y=a（x-h） +k的图象和性质；y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据交点确定不等式的解集

展开更多......

收起↑