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2026年全国中考数学真题汇编
专题16 二次函数综合压轴题
一、单选题
1．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或 D．或1
2．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当时，四边形是平行四边形；
②的最大面积为；
③当的面积为时，或．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
4．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元．
5．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”）
6．（2026·重庆·中考真题）自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为_____；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为____．
三、解答题
7．（2026·广西·中考真题）综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
(1)逆风风速记为____．
假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述．
(2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因．
假设3：用二次函数描述与的关系．
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：．
【模型应用】
(3)请你估计顺风风速时的成绩变化量．
(4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型．
8．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．
过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高．
建立模型 计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值；
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
9．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数．
(1)当 时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离．
10．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点．
(1)求A、两点的坐标；
(2)直线与抛物线交于，两点．
①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
11．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为．
(1)当，，时，求点的坐标；
(2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若，求的值；
②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值．
12．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由；
(3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值．
13．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图1，当时，求正方形的面积；
②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
14．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由．
15．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数．
(1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式；
(2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积；
(3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围．
16．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图，当时，求正方形的面积；
②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
17．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值；
(3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值．
18．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线．
(1)求抛物线顶点的纵坐标；
(2)点，，（）都在抛物线上．
（i）求的值；
（ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由．
19．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
(1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标；
(3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值．
20．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”．
(1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式；
(2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上．
21．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值；
(3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标．
22．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值；
(3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
23．（2026·云南·中考真题）已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上．
(1)求抛物线与轴的公共点的坐标；
(2)比较与的大小．
24．（2026·福建·中考真题）已知抛物线．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点；
(3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明．
25．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答）
(3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答）
26．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形；
(3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积．
27．（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的值；
(3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值．
28．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，．
(1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________；
(2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设．
①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
29．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
30．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
(1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标；
(2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围．
31．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”．
(1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
(2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为．
①试猜想与的数量关系，并证明；
②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值．
32．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
(1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值；
(2)已知二次函数对一次函数“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值．
33．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点．
①求点的坐标；
②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标．
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参考答案
题号 1 2 3
答案 A B D
1．A
设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可．
解：设过原点的直线为，，
联立直线与抛物线，消去y得：，解得：，
∴的横坐标为，代入得：，
∴，
同理联立直线与抛物线得：的坐标为，
∴根据两点间距离公式可得：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴约去公因式得，整理得，
解得：，，
经检验：，都是方程的解，
∴的值为或．
2．B
连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解．
解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，
边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，
，，，垂直平分，
，
①当时，叠部分的面积为，此时，
，
，
，
，
；
②当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
，
即当时，有最大值为2；
③当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
；
④当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
，
综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线，
只有B选项符合题意．
3．D
①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
解：①当时，如图2，
，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②当点在上，点在上，此时时，如图1，
，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在上，此时时，如图3，
，，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在上，此时时，如图4，
，，，，
∴
，
∵，当时，随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，的最大面积为，②正确；
③当点在上，点在上，此时时，
又②可知：，，
由题意得，
∴（负值已舍）；
当点在上，点在上，此时时，
由②可知：，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）；
当点在上，点在上，此时时，
，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）或；
综上，当的面积为时，或，③正确．
4．7
先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可．
解：由题意设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为，
设单件水果利润为：元，
∴，
∵，
∴当时，单件利润的最大值为元．
5．不能
本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可．
解：把代入，得，
，
不能击中昆虫．
6．
设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为，表示出，根据的化简结果确定其和的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可．
解：设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为，
∴，，
∴，
，
要使最小，需最小，
则当时，的最小值为，
此时，
由二次函数的性质可知，当或时，的值最大，最大值为或，符合题意．
当时，，
解得，
∴，且为整数，
∴，
∵，
∴，
又∵为奇数，且，
∴所有可能的取值为，
①当，即时，，，
∵，且为整数，
∴当时，，
此时正整数，，符合题意；
当时，，
此时正整数，，不符合题意，舍去；
②当，即时，，，
同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；
③当，即时，，，
同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；
④当，即时，，，
同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；
⑤当，即时，，，
当时，，
此时正整数，，符合题意；
当时，，
此时正整数，，不符合题意，舍去；
综上，满足条件的所有的值为7和21，它们的和为．
本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论．
7．(1)
(2)
理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即
∴
∴函数图象经过坐标原点
(3)
(4)该运动员训练后的竞技水平有提升
（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果；
（2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.；
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量；
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升．
（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示，
∴逆风风速记为．
（2）略
（3）已知二次函数模型为，
将代入得：
即顺风风速时的成绩变化量为．
（4）解：由题意得，变形得
第一次比赛：顺风，成绩，
由（3）得，则零风速成绩
第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得：
则零风速成绩
∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高
∴该运动员训练后的竞技水平有提升．
8．(1)，
(2)米
（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径．
（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线，
∴
解得；
∴，；
（2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为，
配方可得，
∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变
∴新抛物线的表达式为，即，
当时，，
解得，（舍去），
∴（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少米．
9．(1)直线
(2)
(3)
（1）把 代入 ，进一步求解即可；
（2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可；
（3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案．
（1）解：当 时，
二次函数为： ，
∴二次函数的对称轴为直线．
（2）解：∵
，
抛物线的对称轴为直线，
∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，
∴ ，
解得：，
∴ 的取值范围为：．
（3）解：∵ 的对称轴为直线，
而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，
∴，
当 时，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得：，，
∴或，
∴点 到对称轴的距离为：．
当时，
，即 ，
∴，
∴方程无解，
综上：点 到对称轴的距离为：．
10．(1)，
(2)①定点；
如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．
∴．
又∵A、两点到直线的距离相等，
∴．
又∵，
∴．
∴，
即：点为中点．
∵，，
∴中点，
即直线过定点；
②直线过定点
（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，．
（2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点；
②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点．
（1）解：令，解得，
∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），
∴，．
（2）解：①略
②∵的对称轴为，当时，，
∴顶点，
如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
设，，
∴，，，，
∴．
整理得．
∵直线与抛物线交于，两点．
∴联立，
可得，
∴，．
代入可得，
∴．
∴，
∴当时，固定不变，
∴直线过定点．
11．(1)点的坐标为；
(2)①的值为6；②的值为．
（1）利用配方得到顶点式，即可求解；
（2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可；
②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解．
（1）解：由题意得，
∴点的坐标为；
（2）解：①由题意得，
对称轴为直线，
顶点的坐标为，
作轴于点，
如图，由题意得点，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
解得（舍去），，
∵抛物线经过点，
∴，
解得（舍去），，
∴的值为6；
②∵点，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
作轴于点，则是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过点作，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，即有最小值，
∵，，，且取得最小值为，
∴，即，
解得，
∴的值为．
12．(1)
(2)是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线，对称轴为直线，
设直线，代入点、
∴
解得
∴直线
将代入，得
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形；
(3)
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可；
（3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值．
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
∵抛物线与轴交于点．
∴，
解得
∴，即；
（2）略
（3）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴在中，，
∵点、
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，
则，
∵
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
解得，
当点三点共线，且点重合时，取得最小值为
∵，
∴此时取得最小值为，
而高为定值，
∴的面积最小值为，
∴的面积为．
13．(1)
(2)①；②
(3)的最小值为，此时
（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案；
（2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积；
②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案；
（3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出．
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：①∵，点在线段上，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为；
②如图，过点作轴于，轴于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵在的左上方以为边作正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴点的坐标．
（3）解：如图，过点作轴，使，连接，
∵点、的速度相同，
∴是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，
∵，
∴当时，，
解得：，，
∴，，，
∴，即的最小值为，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，，点在点上方，
∴．
14．(1)
(2)四边形面积的最大值为；点的坐标为
(3)是定值，定值为
（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可；
（2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
∵抛物线与轴交于点
∴，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴，交于点，
设直线，
代入，可得，
解得
∴直线
∵
∴当面积最大时，四边形面积最大，
设（），则
∴，
∴，
即
∵，，
∴当时，的面积最大为，
∴四边形面积最大值为，
∴此时点纵坐标为，
∴点的坐标为；
（3）解：是定值，
如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线，
∴顶点
∴
设，
联立直线与抛物线，
则
整理得，，
∴，
设直线，则
解得
∴直线，
令，则，解得，
∴，同理可得，
∴，，
∴．
15．(1)
(2)
(3)
（1）根据待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得，设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可；
（3）由题意易得，然后根据可得，则有该二次函数的对称轴范围为，进而根据二次函数的性质分类讨论即可．
（1）解：∵该二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∵该二次函数的图象经过点，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：当时，则有，
令，则有，即，
∴，
设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，不妨设，
当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，
∴根据根与系数的关系可得：，
∴根据两点间距离公式可得：，，，
当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的右侧，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，解得：（负根舍去），
∴把代入得：，解得：，
∴，解得：，
∴，
∴；
当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的左侧，
∵是等腰三角形，
∴，
同理可得：；
综上所述：的面积为；
（3）解：当时，则有，
∵点，在该二次函数的图象上，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴，即，
∴当时，即，此时二次函数在上，y随x的增大而增大，
∴二次函数在上的最大值为，
∵，
∴，
当时，即，
∴二次函数在上的最大值为，
∵，
∴，即，
∴；
综上所述：最大值的取值范围为．
16．(1)
(2)①8；②
(3)，
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可；
②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解；
（3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答．
（1）解∶∵抛物线过点，点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：①由点，可得，，
，
，
，
．
②如图，过点作轴，垂足为，
则．
四边形为正方形，
，，
∵，
∴，
，，，
∴，
，
设，则，
点
点在抛物线上，
，解得，（不满足，舍去），
点．
（3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，，
四边形为平行四边形，
，．
连接，
，
当，，三点共线时，，如图，
即的最小值等于的长．
令时，，
解得，，，
点，
∴点．
点，
，
，
∴在中，，
的最小值为
设直线的表达式为，
∵直线过点，，
，解得，
直线的表达式为，
点，
，
点，
当取最小值时，．
17．(1)
(2)或或
(3)
（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解；
（2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解；
（3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解．
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
∴，
设抛物线解析式为，代入，
∴
解得：
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设直线的解析式为，代入，
∴，解得：
∴直线的解析式为
如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点到直线的距离为
∴在上，
∵平行，
∴的解析式分别为，
联立
消去得，
解得：
联立
消去得，
解得：
∵点横坐标为，
∴或或
（3）∵
∴
如图，过点作使得，则，
∴，，，
∴，
过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则
∴
∴当在上时，取得最小值，最小值为．
∴
∴
∴
∴，
∴
18．(1)
(2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，．
理由如下：由（i）得，已知，显然成立，
令，解得，
也就是说，当时，恒成立，
故只用讨论的情形：
时，，故整数点只有，
，；
时，，故整数点有，
，；
时，，故整数点有，
，；
时，，故整数点有，
，；
时，，故整数点有，
，；
综上所述，当时，；当时，．
（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标；
（2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出
（ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可．
（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为，
则抛物线的对称轴为，
把代入抛物线解析式得
解得，即为抛物线顶点的纵坐标．
（2）解：（i）令，可得，
即，
，
故解得，
；
（ⅱ）略
19．(1)
(2)
(3)
（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解；
（2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解；
（3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可．
（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
∴令，即，解得，
令，；
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，即，
∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，
∴设二次函数解析式为，
将点代入，得，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点，
，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∴令，解得，（舍去），
∴；
（3）解：设，
∴，，
∵在抛物线上，在抛物线上，
∴①，②，
∵③，
∴联立①②③，得到，解得，（舍去），
∴，
如图，过点作轴于点，
∴轴，
∴．
20．(1)
(2)，点在抛物线上
（1）用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上．
（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为，
将向右平移1个单位得到，
的横坐标为，
根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即，
设派生直线解析式为，
代入得．
因此该函数的派生直线解析式为．
（2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为，
将代入得，
解得，因此，
根据定义，横坐标为，因此横坐标为，
将代入得.
因此，
将代入得
，即，
将代入得，即，
∴，，
，
由定义，抛物线对称轴为，
纵坐标为，得
，
设抛物线解析式为，
∵在抛物线上，代入得，
解得，
∵抛物线解析式为，
∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等，
因此点在抛物线上．
21．(1)
(2)
(3)或2
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案；
（3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为．
（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q
在中，当时，，
解得或，
∴点B的坐标为；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
设点P的坐标为，
∵轴，
∴点Q的横坐标为p，
∴点Q的纵坐标为，
∴；
∵轴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为；
（3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H，
∵，点C与点D关于原点成中心对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为，
联立，解得或（舍去），
∴点E的坐标为，
∴点E的纵坐标为2；
如图3-2所示，当点E在点B下方时，
同理可得，
∴，即轴，
∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为；
综上所述，点E的纵坐标为或2．
22．(1)
(2)
(3)存在，
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为，
∴令时，则有，即，
连接，设，其中，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为；
（3）解：存在点，使得，
∵，，，
∴，
∴，，
过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示：
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，则有，
∴，
∴的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，把点代入得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不符合题意，舍去），
∴．
23．(1)
，
(2)
当时，；当时，
（1）令，求出值即可得出结果；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可.
（1）解：由题意，当时，解得，
∴抛物线与轴的公共点的坐标为，；
（2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，；
∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上，
∴或，
①当时，整理得，解得，
将代入得：
∵，
∴，即.
② 当时，整理得，
解得，
∴，两边除以得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
综上：当时，；当时，.
24．(1)
(2)证明：抛物线上的点在轴上方，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点．
(3)和的数量关系是，
证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图，
故可设，，，
则，是方程的两根，
由求根公式可得，，
又坐标平面内存在点满足，
由对称性可设，
由勾股定理可得，，，
，
解得，
点的坐标为，
直线与相交于点，
，
联立，解得，
点的坐标为，
由，可知，
又，
垂直平分，
．
（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得，
进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点；
（3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得．
（1）解：，，
，
抛物线的顶点坐标为．
（2）略
（3）略
25．(1)
(2)
(3)或
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解；
（3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可．
（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为，
∴，，，Q的纵坐标为，则，
或
∴，，，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，
此时，
∴；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，
∴相当于点C与点B是平移前后的对应点，
即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴的坐标为或．
或
26．(1)
(2)3秒
(3)当时，四边形的面积最大，最大面积为
（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可；
（2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可；
（3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，
，
解得．
∴．
∵，
∴，
当时，，
∴．
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P，
∴设，，
∴，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：由题意，得，则，
由（2）得，．
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为．
27．(1)
(2)
(3)
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解；
（3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴将点代入，则
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点作于点
对于，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴对称轴为直线
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴在中，；
（3）解：过点作轴交、轴于点，
由（2）知，
∵
∴，
∴，为等腰直角三角形
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
设，则，
同理设，则
∴
∴，
将点代入，
则，
整理得，，
∵
∴
整理得，
设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点，
∵
∴，
同理可得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点，
∴，
∵
∴当时，取得最大值，
∴最大值为．
28．(1)，
(2)①，；②
（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解；
（2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可；
②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围．
（1）解：连接交 轴于点，
∵，，．
∴由对称可得，，，
∴，，，
∴，，
∵点A，C关于x轴对称，
∴；
（2）解：①在中，∵，
∴，
由折叠可得，，，，，
∴，
∴
∴
∴，
由得，，
在中，，得
∴
当点重合时，如图：
此时由（1）可得，；
当点重合时，如图：
此时，则，
∴的取值范围为；
②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴由对称可得，，，
∴，
∵，对称轴为直线
∴当时，随着的增大而增大
∴时，；时，，
∴时，；
当，重叠部分为五边形，延长交直线于点，
在中，，
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
即
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，
当时，可求；当时，可求，
∴当时，；
当时，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴，
∴由对称可得，，
∴，
即，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，可求；时，可求，
∴当时，
综上：．
29．(1)如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为；
②的取值范围为
(2)丙的平均速度为米/秒
（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解；
②当时，，由题意得，，即可求解；
（2）当时，，求得，即可求解．
（1）解：由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
∴函数表达式为：．
②当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∴丙的平均速度为（米/秒）．
30．(1)，；
(2)能避开障碍物和暗礁；
(3)．
将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标；
先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解；
设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解．
（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵，
当时，，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，抛物线在时距水面最高，
∴，
解得：，
∴，
∵过点，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，
∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物，
∴当时，，
∵，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽，，
∴，
∴当时，，
∵，
∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点的坐标，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵要避开暗礁，
∴，
∴，即，
∵过点，
当时，，即，
∴当时，，
，
即，
∵，
∴，
解得：．
31．(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
的顶点为，
将代入中，得，
即经过．
的顶点为，
将代入中，得，
即经过．
故与互为“伴随对称抛物线”．
(2)①，证明如下：
∵：与：
∴，，
∵若：与：互为“伴随对称抛物线”，
，，
两式相加得．
，
．
②的对称中心为线段的中点；
③
（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可；
（2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答；
②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答；
③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答．
（1）略
（2）解：①略
②∵为中心对称图形，
∴的对称中心为线段的中点．
③：，，
∴，，
：，
∴，，，
如图，设与相交于点，
∵四边形为正方形，
为的对称中心，，
．
过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．
则，
∴，
∴，．
设，
则，，即，．
又，
，．
∵点在上，
，化简整理得，
．
32．(1)
(2)；
（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可；
（2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可；
②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解．
（1）解：由题意，吸收函数的表达式为．
根据题意，得，
解得；
（2）解：①，
的最小值为．
由题意，吸收函数的表达式为．
根据题意，得．
，
，
，即，
为一次函数的系数即，
考虑到当时，，
但当时，，
故可取，
综上所述，；
②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．
根据题意，列出方程组为
把②代入①得：，
即．
解得．
∴点的横坐标分别是
，
为“吸收函数”的顶点，
，
．
．
的面积．
的面积为，
，
解得．
33．(1)
(2)①；②
直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可；
①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，
∴，
解得，
∴，
即；
（2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点，
∴，对称轴为直线，
∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
②如图，过点作于，则，
设，则，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴点的横坐标为．
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2026年全国中考数学真题汇编
专题 16 二次函数综合压轴题 试卷分析
一、单选题 1 0.45 其他问题(二次函数综合)；因式分解法解一元二次方程；已知两点坐标求两点距离
2 0.45 动点问题的函数图象；求正方形重叠部分面积；图形运动问题(实际问题与二次函数)
3 0.4 因式分解法解一元二次方程；根据矩形的性质求线段长；图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、填空题 4 0.59 销售问题(实际问题与二次函数)
5 0.75 喷水问题(实际问题与二次函数)
6 0.45 其他问题(二次函数综合)；计算多项式乘多项式；运用平方差公式进行运算
三、解答题 7 0.57 求自变量的值或函数值；相反意义的量；其他问题(实际问题与二次函数)
8 0.65 喷水问题(实际问题与二次函数)
9 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况；求点到坐标轴的距离
10 0.4 其他问题(二次函数综合)；求抛物线与x轴的交点坐标；相似三角形的判定与性质综合
11 0.32 其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
12 0.42 解直角三角形的相关计算；圆周角定理；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形；角度问题(二次函数综合)
13 0.31 求一次函数解析式；根据正方形的性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；待定系数法求二次函数解析式；特殊四边形(二次函数综合)；利用平行四边形的判定与性质求解
14 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；面积问题(二次函数综合)
15 0.48 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
16 0.38 根据正方形的性质求面积；根据正方形的性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；已知二次函数的函数值求自变量的值；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形
17 0.42 解直角三角形的相关计算；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)
18 0.45 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；解一元二次方程——配方法；根据二次函数的对称性求函数值；求一元一次不等式的整数解；抛物线与x轴的交点问题
19 0.42 待定系数法求二次函数解析式；角度问题(二次函数综合)；y=a（x-h） +k的图象和性质；y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；中点坐标
20 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
21 0.42 解直角三角形的相关计算；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；求关于原点对称的点的坐标；用勾股定理解三角形；角度问题(二次函数综合)
22 0.35 解直角三角形的相关计算；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形；角度问题(二次函数综合)
23 0.42 其他问题(二次函数综合)；抛物线与x轴的交点问题
24 0.42 其他问题(二次函数综合)；抛物线与x轴的交点问题；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；用勾股定理解三角形；把y=ax +bx+c化成顶点式；线段垂直平分线的性质
25 0.42 等边对等角；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；已知两点坐标求两点距离；特殊三角形问题(二次函数综合)
26 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)
27 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；求角的余弦值；线段周长问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形
28 0.35 解直角三角形的相关计算；根据成轴对称图形的特征进行求解；折叠问题；坐标系中的对称；图形运动问题(实际问题与二次函数)
29 0.48 已知二次函数的函数值求自变量的值；图象法解一元二次不等式；利用不等式求自变量或函数值的范围；待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)
30 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；正比例函数的图象；求不等式组的解集；投球问题(实际问题与二次函数)
31 0.23 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据正方形的性质求线段长；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；判断中心对称图形的对称中心
32 0.27 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
33 0.28 y=ax +bx+c的图象与性质；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；待定系数法求二次函数解析式；角度问题(二次函数综合)；根据特殊角三角函数值求角的度数

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