资源简介

(共4张PPT)
2026年全国中考数学真题汇编
专题 27 直角三角形 试卷分析
一、单选题 1 0.65 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；坐标与旋转规律问题
2 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；半圆（直径）所对的圆周角是直角；求角的正切值；切线的性质定理
二、填空题 3 0.85 斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形
4 0.65 折叠问题；矩形与折叠问题；含30度角的直角三角形
5 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
6 0.65 含30度角的直角三角形；矩形与折叠问题
7 0.65 由平移方式确定点的坐标；实数的混合运算；含30度角的直角三角形；点坐标规律探索；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
三、解答题 8 0.62 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；证明四边形是平行四边形
9 0.42 斜边的中线等于斜边的一半；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
10 0.42 已知圆内接四边形求角度；含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；90度的圆周角所对的弦是直径；用勾股定理解三角形
11 0.35 含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算； 三角形外接圆的概念辨析；同弧或等弧所对的圆周角相等；等边三角形的性质；两点之间线段最短
12 0.52 与三角形中位线有关的求解问题；含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算
13 0.42 含30度角的直角三角形；其他问题（解直角三角形的应用）；切线的性质定理
14 0.5 含30度角的直角三角形；因式分解法解一元二次方程；根据等角对等边证明边相等；与方向角有关的计算题；用勾股定理解三角形2026年全国中考数学真题汇编
专题27 直角三角形
一、单选题
1．（2026·四川自贡·中考真题）如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·福建·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________．
4．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______．
5．（2026·上海·中考真题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________．
6．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________．
7．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________．
三、解答题
8．（2026·北京·中考真题）如图，在中，，D，E分别为，的中点，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
9．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求的值．
10．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点．
【初步探究】
(1)如图2，的度数为__________；
【尝试应用】
(2)如图2，若，求的长；
【创新提升】
(3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
11．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
(1)在锐角中，求作一点P，使的值最小．
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图1，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接，
与交于点P．则点P即为求作的点．
在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”，
得 ① ，故是等边三角形．所以．
进而可证得．所以．
所以．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
的长即为的最小值．
【方法迁移】
(2)如图2，已知点A，B到直线l的距离，．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
(3)如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且，（）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）．
12．（2026·江西·中考真题）如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线．
(1)请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹）
(2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________．
13．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】
(1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____．
【类比探究】
(2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数．
（参考数据：，，，，）
【综合实践】
(3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围．
14．（2026·重庆·中考真题）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向．
(1)求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）；
(2)现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
题号 1 2
答案 A B
1．A
根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标．
解：在中，，，
，
由旋转的性质得，，，，，轴，
，
，
中，，
在轴的负半轴，
的坐标为．
2．B
连接，根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质确定，利用圆周角定理得出，得出，再由正切函数即可求解．
解：连接，如图所示：
∵ 是 的切线，
∴，
∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵ 是 的直径，
∴，
∴，
∴．
3．5
根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
解：根据题意，得，
由点为斜边的中点，
．
4．
作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度
解：作于点F，
，
由折叠得，，，
又四边形为矩形，
，
，
，
．
5．/
根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解．
解：是等边三角形，是的中点，
，，，
，
在（设交于点）中，
由旋转的性质可知，
，，
在中，，，
是等边三角形
，
在中，，
，
．
6．
过点作交于点，根据折叠的性质和含的直角三角形的性质解题即可．
解：如图，过点作交于点，
由折叠的性质知，，，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．
如图，过点作于点H，从开始，每8个点记为1组，根据得到的位置和第1组中的位置相同，然后求出，，，发现规律求解即可．
解：如图，过点作于点H，
∵所以菱形都两两全等
∴从开始，每8个点记为1组，
∵
∴的位置和第1组中的位置相同，
∵
∴
∵菱形的边长为2
∴
∴
∴
∴
∴，，
由平移得，
∴
∴，
∵菱形与菱形全等
∴同理可得，，，
∴
∴
∴．
8．(1)证明：在中，，E为的中点，
，
，
,
又，
四边形是平行四边形；
(2)
（1）根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，再由四边形的面积的面积的面积，即可求解．
（1）略
（2）解：，E分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
∵，，
∴，，
的面积为，的面积为，
四边形的面积的面积的面积．
9．(1)4
(2)
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴；
(3)2
（1）直接由勾股定理求解即可；
（2）证明，得到，再由代入求证即可；
（3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
（1）解：∵，，，
∴；
（2）略
（3）解：由（2）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．(1)
(2)
(3)或
（1）先证明，再证明，则，然后根据三角形的外角性质求解即可；
（2）连接，证明，则可得，然后对运用勾股定理求解即可；
（3）连接，由（1）知，记直线与交于点，证明，则，，，四点共圆，可得，然后分和两种情况求解即可．
（1）解：∵，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，记，交于点，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图，连接，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：连接，
由（1）知，记直线与交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
当时，同理可得，
∴，
∴，
∴；
综上：若，，三点构成以为腰的等腰三角形，的长为或．
11．(1)①；②两点之间线段最短
(2)作法：如图，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．
点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为；
(3)管道路线总长度最短为．
设计方案：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，其中铺设路线为，，，，．
（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解；
（2）连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．证明四边形是平行四边形，利用平行，可证，根据等边三角形的性质，可求得，证明出是外接圆的直径，接着证明此时达到最小，再解，求得、，得出答案；
（3）分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，结合（2）可得出的长即为管道路线总长度的最小值，即可求解．
（1）略
（2）作法：如图1，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，即，
∴，
∵，，，，
∴，
∵三角形是等边三角形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为的外接圆的直径，
∵，，
∴，同理，
∴此时，
∴此时点P到点A、点B、直线l的距离之和达到最小，最小值为的长．
是等边三角形，
，．
在中，，
．
∴点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为．
（3）解：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，连接，，，，设交于点，交于点，其中铺设路线为，，，，．
由（2）可知，，，，，
∴铺设的管道长度为：，
∴此时管道长度达到最小，最小值为，
∵三角形为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，同理可求得为，
∴，
∴管道路线总长度的最小值为．
12．(1)如图， 即为所求；
(2)
（1）由题意分别求出 的长度，取格点P，由题意可知， ，则有 ，再利用 得到 则可证 ，则可知 即为所求角平分线；
（2）取格点H，则有 ， ，由（1）可知 ，利用锐角三角形函数求 的长即可．
（1）解：取 与网格交点P，连接 并延长交 于点Q， 即为所求；
由网格可知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 即为所求；
（2）解：取格点H，由网格可知，
， ，
∵ ， ，
∴
∴
∴．
13．(1)3
(2)此时左前轮的转向角的度数约为
(3)
（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解；
（3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．
（1）解：依题意，，
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：由题意得，，，
，
在中，
解得：
在中
，，
答：此时左前轮的转向角的度数约为
（3）解：如图，连接，设，交于点，
当最大时，点经过点，此时
依题意，，
设，则，
在中，
∴
解得：
∴，,
在中，
∴
当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧
设道路宽为，依题意，
∴
∴
综上所述，
14．(1)7.4千米
(2)千米或4千米
（1）过点B作于点E，由含30度直角三角形的性质求得，，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得；
（2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作于点H，由速度关系得路程关系，设千米，则千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得，再由勾股定理建立方程即可求解．
（1）解：如图，过点B作于点E，
由题意得，
∴千米，
∵，，
∴，
∴千米，
由勾股定理得千米，
∵，
∴，
∴千米，
由勾股定理得（千米）．
答：的长度为7.4千米．
（2）解：假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即千米，
如图，过点F作于点H，
∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍，
∴乙的路程是甲的路程的2倍，
即，
设千米，则千米，千米，
∵，，
∴千米，
由勾股定理得千米，千米，
在中，由勾股定理得，
整理得，
解得，
则（千米），或（千米）．
答：甲离处千米或4千米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑