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2026年全国中考数学真题汇编
专题 28 勾股定理及勾股定理的应用 试卷分析
一、单选题 1 0.85 根据成轴对称图形的特征进行求解；用勾股定理解三角形
2 0.65 根据正方形的性质求角度；根据正方形的性质求线段长；求角的正切值；用勾股定理解三角形
3 0.4 相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
4 0.45 利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
5 0.4 根据正方形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
6 0.4 解直角三角形的相关计算；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
7 0.4 根据旋转的性质求解；求角的正弦值；已知正弦值求边长；用勾股定理解三角形
二、填空题 8 0.85 求最短路径(勾股定理的应用)；实数的大小比较
9 0.85 求角的正切值；用勾股定理解三角形
10 0.65 垂径定理的实际应用；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
11 0.65 运用完全平方公式进行运算；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
12 0.64 以弦图为背景的计算题；运用完全平方公式进行运算；利用菱形的性质求面积；根据正方形的性质证明
13 0.65 解直角三角形的相关计算；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
14 0.65 利用垂径定理求值；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
15 0.4 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
16 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
17 0.4 折叠问题；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
18 0.45 矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
三、解答题 19 0.56 与三角形中位线有关的求解问题；无理数的大小估算；正方形性质理解；用一元一次不等式解决实际问题；用勾股定理解三角形
20 0.52 作垂线(尺规作图)；解直角三角形的相关计算；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
21 0.55 勾股定理逆定理的实际应用；有理数四则混合运算的实际应用；分式方程的经济问题；有理数大小比较的实际应用；用勾股定理解三角形
22 0.52 利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
23 0.5 矩形与折叠问题；证明四边形是菱形；根据等角对等边证明边相等；等边三角形的判定；用勾股定理解三角形
24 0.35 根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
25 0.45 解决航海问题(勾股定理的应用)；方位角问题(解直角三角形的应用)
26 0.32 解直角三角形的相关计算；全等的性质和SAS综合（SAS）；矩形性质理解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形2026年全国中考数学真题汇编
专题28 勾股定理及勾股定理的应用
一、单选题
1．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广东深圳·中考真题）在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2所示的图形．已知拼接后点，为图2中图形的顶点，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
5．（2026·重庆·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______．
9．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________．
10．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m．
11．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______．
12．（2026·四川广元·中考真题）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是__________．
13．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________．
14．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米．
15．（2026·重庆·中考真题）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，经过圆心，且，垂足为，．连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为____，的长度为____．
16．（2026·四川成都·中考真题）如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____．
17．（2026·山东德州·中考真题）如图，在四边形中，，，．取的中点，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为______．
18．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形中，厘米，厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接，将沿着直线折叠，顶点B的对应点是点F，连接．当是直角三角形时，则t为_______秒．
三、解答题
19．（2026·湖南·中考真题）某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
(1)如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）；
(2)求阅读室的长与宽；
【问题解决】
(3)调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由．
20．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，．以边上的点为圆心，长为半径的与边的另一交点为，为的切线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)若，，求的半径．
21．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践
背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜．
素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，；
素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株；
素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为．
完成以下任务
(1)任务一：求四边形空地的面积；
(2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；
(3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”）
22．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）．
(1)求的长；
(2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：，，，，，．）
23．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，．
(1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．
(2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长．
24．（2026·湖北·中考真题）在中，，将绕点顺时针旋转（）得到，使得．
(1)如图1，若，与交于点，作，垂足为．
①证明：；
②求的值；
③若，直接写出的值．
(2)如图2，若，直接写出的值．
25．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，）
26．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形和矩形，，，．先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，．
(1)【问题初探】如图，当，时，与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；
(2)【类比推理】如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由；
(3)【深入探究】如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点，若，则的长为 ；
(4)【拓展延伸】如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接．若的面积为，则的取值范围是 ．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B D B B B B
1．C
根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度．
解：，，，
在中，，
与关于直线对称，
．
2．B
设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解．
解：连接，如图：
设，
∵四边形和是正方形，，
∴，，，
∴，，
∵、分别是正方形、的对角线，
∴，，
∴，
∴在中，．
3．D
过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解．
解：过点作于点，
，，
∴，
，，
，，
，
设，
∵
∴，即，
，
∵，
∴，即，
，
，
解得
，，
∴，
，
在中， ．
4．B
先根据图 1 给出的边长，确定四块四巧板各边的线段长度，再分析图2中点，的距离．
解：等腰直角三角形①斜边为，
由以及边平行，得到存在一个平行四边形，
则直角梯形下底长与等腰直角三角形①斜边相等，
．
5．B
设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出的长，进而求出与的面积即可．
解：设，
∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
如图，过点作于点，作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，
∴与的面积之比为．
本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形．
6．B
连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长．
解：如图所示，连接，
为 的直径，
，
点为的内心，
平分，
，
弧 弧，
，
在 中，由勾股定理得，
在 中，由勾股定理得；
设的内切圆半径为，
点 为的内心，
点到的三边的距离都等于，
，
，
，
；
如图所示， 过点作于点，
则，
在中，，
是等腰直角三角形 ，
．
7．B
过点作，由题意易得，则有，然后根据旋转的性质可知，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴．
8．
分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
解：如图，将长方体的前面和右面展开，
∴；
如图，将长方体的前面和上面展开，
∴，
如图，将长方体的下面和右面展开，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
9．
先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可．
解：在中，，，，
由勾股定理得，
根据正切的定义，．
10．0.2或0.8/或0.8或0.2
分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度．
解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，．
过点作于点，直线交下面圆弧于点D，
根据垂径定理可得：
在中，由勾股定理得：
分两种情况讨论：
当水面在圆心下方时，
水面高度为 ；
当水面在圆心上方时，
水面高度为 ．
故答案为或．
11．
设，，则，利用正方形的性质可得，，进而可得，利用完全平方公式求得，然后利用三角形的面积公式求解即可．
解：在正方形和正方形中，，，，
设，，则，
∵，
∴，即；
∵四边形是正方形，
∴，，又，
∴，即，
∴，则，
∵，即，
解得，
∴．
12．
4
设四个全等直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为.根据图2菱形的对角线和得出的值，根据图3中间正方形面积及勾股定理得出的值，最后利用完全平方公式求出图1中间小正方形的面积．
解：设四个全等的直角三角形的两直角边长分别为，()，斜边长为
由图2可知，菱形的两条对角线长分别为，
∵菱形对角线的和为12
∴，
即
由图3可知，中间正方形的边长为
∵中间正方形的面积为20
∴
在直角三角形中，由勾股定理得
图1中间小正方形的边长为，其面积为
∵
∴，
解得
∴．
13．
根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得．
解：在正方形中，，
，，
，即，
，
，
中，．
14．10
连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可．
解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，
由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，
设的半径为r，则，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴所在的半径为10分米．
15．
先得出，再在中，利用勾股定理求解可得的长度；过点作于点，过点作于点，连接，先求出的长，再求出的长，然后解直角三角形可得的长，进而可得的长，最后根据求解即可．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，．
如图，过点作于点，过点作于点，连接，
∵经过圆心，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴．
本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形．
16．
设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，得出，求得，进而求得的长．
解：∵为的一条中线，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴，
∴
过点作于点，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
解得：
∴
17．
根据题意作图，得到，，，如图所示，过点C作于点F，得到矩形，由勾股定理得到，设，则，，由此列式得到，则，再根据勾股定理即可求解．
解：将和分别沿，折叠，点B，D的对应点为，，若和恰好都能与重合，则点重合，如图所示，且点A是的中点，
∴，，，
如图所示，过点C作于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
在中， ．
18．1.5或3/或3
根据折叠的性质可得，，，分 ， 和三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形的性质建立方程求解即可．
解：由折叠的性质可知，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵点在线段上，
∴；
当是直角三角形时，分三种情况讨论：
①当时，∵，
∴，
∴，，三点共线，
∴，
在 中，由勾股定理得 即，
解得；
②当时，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，
在 中，，
∴，
∴，
∴，
解得；
③当时， 此时，即点在边上，
在 中，斜边，直角边 ，
∵，
∴此种情况不存在．
综上所述，的值为或．
19．(1)，
(2)长为米，宽为米
(3)解：可以摆下
理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，
根据题意，得，
解得，
∴最大整数x为10，
根据题意，得，
解得，
∴最大整数y为6，
∵，
∴可以摆下．
（1）根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求即可；
（2）根据长为8个的长加上7个过道；宽为5个的长加上4个过道求解即可；
（3）设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，根据x个的长加上个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数x的最大值，根据y个的长加上个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出的最大值，然后与60比较，即可得出结论．
（1）解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴（米），，
∴，
∴（米）；
（2）解∶阅读室的长为（米），宽为（米）
（3）略
20．(1)解：如下图所示．
作法：（1）作，边交于点；
（2）作的垂直平分线，交于点；
（3）连接，则；（4）以为半径作．
(2)
（1）先作交于点，再作的垂直平分线，交于点，以为半径作即可；
（2）由已知条件先求，进一步可求长度，长度，均可求，最后借助勾股定理可求半径长度．
（1）作图见答案，
证明：，
，
为垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，点在圆上，
为切线．
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即半径为．
21．(1)平方米
(2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株
(3)
（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解．
（3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解．
（1）解：∵，，，
∴米
∵米，米，
∴
∴
∴是直角三角形，且
∴平方米；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得，
解得：，经检验是原方程的解，且符合题意，
∴乙菜苗的单价为元，
答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株
（3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
∵
∴
22．(1)米
(2)米
分别解，，求出，进而根据解答即可求解；
设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解．
（1）解：如图，在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴（米），
答：的长为米；
（2）解：如图，设的圆心为，连接，
∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米，
∴米，
∵点是的中点，
∴米，，
设的半径为米，则米，
在中，，
∴，
解得，
答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米．
23．(1)添加条件：；
(2)解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
(3)或
（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形；
（2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形；
（3）设，根据勾股定理构造方程，求得，设，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答．
（1）解：由折叠可得，，
当时，，
∴，
∴是等边三角形．
（2）略
（3）解：①如图，
设，则，
∵由翻折有，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
②如图，
设，则，
∵由翻折有，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴在中，；在中，，
，
即，
，
解得，
∴，
∴．
24．(1)①证明：，
，
，
，
由旋转得，，
，
；
②2；③
(2)
（1）①由平行得，由旋转得，，进而得，即可证明；
②由等腰三角形三线合一的性质得，由得，再证明，则，即可得解；
③由旋转得，，，由②可得，进而可得到，设，则，，在和中，由勾股定理分别表示出，即可得关于x的方程，即可求解；
（2）过作交直线于，由，，得到，则，，设，，则，再在和中根据列方程整理得到，则，代入计算即可．
（1）①略；
解：②∵，，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③由旋转得，，，
由②可得，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴；
（2）解：过作交直线于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
由旋转得，，，
∴，
∴，
展开整理得，
∴，
∴．
25．海里/时
根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度．
解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示，
，，
．
，， 海里，海里，
在中，，，
海里，海里．
，，
在中，，则海里，
，则海里．
海里，
海里，
在中，，则海里，
，则海里．
海里，
在中，海里．
海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同，
小时，
海里，
海里/时．
乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C．
本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形．
26．(1)，
(2)解：，证明如下：
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
；
(3)或
(4)
（1）证明，即可得到，；
（2）证明，得到，则；
（3）分两种情况：点E在上方和点E在下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
（4）过点P作于点M，证明，推出，根据，推出；由勾股定理得，则可证明，根据可得答案．
（1）解：当时，则，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）略
（3）解：如图所示，当点E在上方时，连接，过点B作于点T，
∵，
∴；
∵点M为的中点，
∴；
∵四边形是矩形，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，即点E与点T重合；
∴，
由（2）得；
如图所示，当点E在下方时，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如图所示，过点E作交的延长线于点T，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为3或；
（4）解：如图4所示，过点P作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
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