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2026年全国中考数学真题汇编
专题 31 圆的基本性质试卷分析
一、单选题 1 0.95 圆周角定理
2 0.85 圆周角定理
3 0.85 求扇形面积；圆周角定理
4 0.7 圆周角定理；切线的性质定理
5 0.75 正多边形和圆的综合；圆周角定理
6 0.65 利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
二、填空题 7 0.85 圆周角定理
8 0.65 求弧长；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
9 0.75 已知圆内接四边形求角度；三角形内角和定理的应用；半圆（直径）所对的圆周角是直角
10 0.4 正多边形和圆的综合；求扇形面积；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
三、解答题 11 0.56 等边对等角；三线合一；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；90度的圆周角所对的弦是直径；证明某直线是圆的切线
12 0.55 解直角三角形的相关计算；同弧或等弧所对的圆周角相等；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
13 0.66 相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
14 0.52 半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；已知正切值求边长；用勾股定理解三角形
15 0.64 线段垂直平分线的判定；与三角形中位线有关的求解问题；利用弧、弦、圆心角的关系求证；半圆（直径）所对的圆周角是直角；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；切线的性质定理；线段垂直平分线的性质
16 0.65 垂径定理的推论；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；作线段(尺规作图)；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
17 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；等腰三角形的性质和判定；利用垂径定理求值；三线合一；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
18 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；解直角三角形的相关计算；全等的性质和SAS综合（SAS）；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；切线的性质定理
19 0.42 与三角形中位线有关的求解问题；解直角三角形的相关计算；求扇形面积；由平行截线求相关线段的长或比值；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线
20 0.42 解直角三角形的相关计算；等边对等角；三角形角平分线的定义；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
21 0.42 已知圆内接四边形求角度；等边对等角；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
22 0.46 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线
23 0.42 等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；相似三角形的判定与性质综合；三角形内角和定理的应用；圆周角定理
24 0.42 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
25 0.45 解直角三角形的相关计算；利用弧、弦、圆心角的关系求解；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
26 0.45 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用弧、弦、圆心角的关系求解；全等的性质和HL综合（HL）；同弧或等弧所对的圆周角相等；切线的性质定理
27 0.42 垂径定理的推论；解直角三角形的相关计算；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线；三角形内心有关应用
28 0.45 利用垂径定理求值；圆周角定理；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形；切线的性质和判定的综合应用
29 0.45 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
30 0.32 重心的有关性质；利用垂径定理求值；三线合一；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和HL综合（HL）；用勾股定理解三角形
31 0.42 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
32 0.15 与三角形中位线有关的求解问题；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线2026年全国中考数学真题汇编
专题 31 圆的基本性质
一、单选题
1．（2026·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
7．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度．
8．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________．
9．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______．
10．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________．
三、解答题
11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：与的外接圆相切；
(3)为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由．
12．（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
13．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
14．（2026·四川乐山·中考真题）如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，的半径为，求的长．
15．（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，．
(1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________；
(2)求证：；
(3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径．
16．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得．
(1)求证是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
17．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
18．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求的值．
19．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中， ，以边 为直径作 ，交于点 ，交的延长线于点 ，连接交 于点 ．
(1)如图1，过点 作于点 ．
①求证： 是 的切线；
②若，，求阴影部分的面积；
(2)如图2，连接，若，，求的值．
20．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，是的直径，点是上一点，于点，点在的延长线上，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，
①填空：的值等于__________；
②求的长．
21．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点F，且，过点C作的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)求证：是的切线；
(3)若的半径为5，，求的长．
22．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
23．（2026·内蒙古·中考真题）已知是的内接三角形，半径与边相交于点．
(1)如图1，连接，若，，求的度数；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，连接．
①若，求证：；
②在①的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
24．（2026·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，．
(1)求证：；
(2)连接交于点F，若，，求的长．
25．（2026·四川成都·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径和的长．
26．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，．
(1)求证：；
(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
27．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果点I是的内心，，，求的值．
28．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
29．（2026·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
30．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且．
(1)如图1，连接；
①求证：；
②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长；
(2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值．
31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
32．（2026·云南·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径．点在的延长线上，且．点在的延长线上．线段的中点与点、点在同一条直线上．线段与相交于点，与线段相交于点．于点，线段与线段相交于点，连接．记的面积为，的面积为．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长；
(3)观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D A A A B
1．D
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可．
解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵，
∴．
2．D
利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解．
解：．
3．A
根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
解：，与分别是所对的圆周角和圆心角
的半径为
．
4．A
连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可．
解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
．
5．A
先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解．
解：∵正五边形内接于，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
6．B
本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可．
解：为直径，，，
，
在中，．
7．
本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可．
解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
．
，
．即．
8．
连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可．
解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
9．
根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
解：是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
．
10．
根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可．
解：如图，连接，
∵在正五边形中，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴．
∴．
11．(1)
(2)证明：由（1）知，
∴是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴，
∵为半径，
∴与的外接圆相切；
(3)解：，理由如下：
连接，设，
∵
∴，
∵
∴
∵，点是中点，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴．
（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；
（2）可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明；
（3）连接，设，导角证明即可求解．
（1）解：∵，，点是中点，
∴
∵平分
∴
∴
（2）略
（3）略
12．(1)证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴是的切线．
(2)
（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线．
（2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可．
（1）略
（2）解：连接，过点作，垂足为，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，解得：，（负值不合题意已经舍去），
∴，
设的半径为，即，则，
∵在中，，
∴，解得：，
答：的半径为，
已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”．
13．(1)证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
又∵点C在上
∴是的切线；
(2)
（1）连接，由，得到，然后由圆周角定理得到，再结合已知条件进行等量代换证明即可；
（2）先由勾股定理求解，然后根据圆周角定理得到，再由求出，即可求解半径．
（1）略
（2）解：由（1）得，
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴的半径为．
14．(1)证明：如图所示，连接，
，
，
，
．
为的直径，
，
．
，即，
又是的半径，
为的切线；
(2)
（1）由等腰三角形的性质得到，则可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可证明，即，据此可证明为的切线；
（2）解直角三角形得到，由勾股定理可得，再由线段的和差关系可得答案．
（1）略
（2）解：由（1）得，
，的半径为，
，即，
∴，
,
．
15．(1)相等；互相垂直
(2)证明：延长交于点，
由（1）可得，垂直平分，即，
∵，
∴是的中位线，
∴，即；
(3)补全图形如图：
的半径为3
（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可；
（2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可；
（3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解．
（1）解：∵在中，，
∴，
∴线段与线段的数量关系是相等；
连接，
∵，
∴垂直平分
∴直线与的位置关系是互相垂直；
（2）略
（3）解：如图，连接，延长交于点，
由（2）可知，
∵直线是的切线，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴半径为．
16．(1)
证明：∵
∴
∵
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
(2)
(3)如图，点即为所求
（1）由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可．
（3）以点为圆心，为半径画弧与交点即为点．
（1）略
（2）解：过点作于点，则
设，则
∵，
∴
∴
解得，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．
（3）解：连接，
由作图可得，
则，
再由垂径定理的推论可得垂直平分，
即可得到点关于对称．
17．(1)证明：如图，连接，
为的直径，
，
又，
；
(2)
（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出．
（1）略；
（2）解：如图，连接，
弦，为直径，，
，
，，
，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
，化简得，解得，
的半径为．
18．(1)证明：为的切线，
，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
∴，
∴．
是的半径，
为的切线．
(2)；②
（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论；
（2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解；
②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解；
方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解．
（1）略
（2）解：连接．
∵在中，，，
∴，
．
∵，
∴
是的直径，
∴，．
∴．
②方法一：取的中点，连接，则．
，
∴．
∵点分别为的中点，
是的中位线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
∴在中，．
方法二：过点作，交的延长线于点．
．
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
，
∴．
∴在中，．
19．(1)①证明：如图1所示，连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，即点D为的中点，
又∵点O为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴ 是 的切线；
②
(2)
（1）①连接，可证明，得到点D为的中点，则是的中位线，进而可证明，进一步可证明，则可证明 是 的切线；②由圆周角定理可得，则可证明是等边三角形，得到，，解直角三角形得到，可求出，根据列式求解即可；
（2）取的中点T，连接，可证明为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理得到；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
（1）①略；
②解：如图1所示，连接，
∵为的直径，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2所示，取的中点T，连接，
由（1）可得点D为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴；
设，则，
∴；
∵是的直径，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
20．(1)证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线；
(2)①；②
（1）连接，由得；由平分得．结合，可知中，等量代换得，即，进而即可证明；
（2）①由平分得，在中，．可得，由勾股定理得，进而即可求出；②连接，由是直径得，结合，由同角的余角相等得，则可得，即．在中，，由得；在中，由得，最终由勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，连接，
为的直径，
，
．
由（1）可知，，
，
由（1）可知，，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
21．(1)证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴平分．
(2)证明：连接，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
(3)
（1）由四边形内接于，可得，再由与圆周角的性质可得，则平分．
（2）先证明，由，可得，即可证明是的切线；
（3）过点作于点，可求得，再证明，即可求解．
（1）略
（2）略
（3）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的直径，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，即，
∴，
在中，，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)证明：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
(2)证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)
（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证；
（3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
（1）略
（2）略
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)；
(2)①证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
②，理由如下：
∵，
∴，
设，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）①连接，利用圆周角定理结合等边对等角，得到，再证明，可推出，即可得到；
②设，求得，即可得到．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①略
②略
24．(1)证明：连接，，
，C，D是上的点，
，
，是的两条切线，
，，，
点P在的平分线上，
平分，
，
，为的直径，
，
，
．
(2)
（1）连接，，根据切线性质可知点P在的平分线上，根据垂径定理可知，再根据圆周角，圆心角的关系即可得证；
（2）先由垂径定理求出的半径，再解直角三角形，可得，根据相似三角形的性质可求，由即可求解．
（1）略．
（2）解：，为的直径，
，，
在中，，，
．
设的半径为r，则，，
在中，由，
得，
解得．
在中，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
25．(1)证明：∵为的直径，
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∴；
(2)的半径为，
（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而根据同角的余角相等得出，结合已知得出，进而可得；
（2）设的半径为，由（1）可得，根据正弦的定义，可得，求得，，勾股定理求得，进而求得，证明，过点作于点，则，进而解，求得，进而求得的长，即可求解．
（1）略
（2）解：设的半径为，
由（1）可得
∴
∴
解得：，
∴，
在中，
∴
∴
∵
∴
如图，过点作于点，则
∵
∴
∴
∴
∴
26．(1)证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴；
(2)，
证明：如图，连接，过点作于点，
∴
由（1）可得
又∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，即
（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出；
（2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证．
（1）略
（2）略
27．(1)证明：连接并延长交于点，连接，
∵
∴
∵是直径，
∴
∴
∵平分
∴
∵，
∴
∴
∴
∵是半径，
∴是的切线；
(2)
（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可；
（2）连接，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明．
（1）略
（2）解：连接，交于点，
∵平分
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴，，
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∵点I是的内心，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴．
28．(1)证明：连接
是的直径，弦于点E，
，，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
(2)
（1）连接，证明即可证明是的切线；
（2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可．
（1）略
（2）解：设，
是的直径，弦于点E，，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，
故的长为．
29．(1)证明：连接，则，
∴，
∵过点作的切线交的延长线于点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，即：，
∴；
(2)
（1）连接，切线的性质得到，圆周角定理得到，根据等边对等角，以及等角的余角相等，即可得出结论；
（2）设的半径为，在中，根据，求出的值，进而求出的长，延长交于点，根据平行线的性质，垂径定理，推出，，证明，求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再证明，推出，即可得出结果.
（1）略
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，连接并延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
30．(1)①证明：如图，作于，于，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②；
(2)
（1）①作于，于，连接，利用垂径定理结合，得出，证明，得出，再证明，即可求证；
②先证明，得出，可得，则，即可得出，，再求出，即可求解；
（2）证明，得出，设，，可得，，求出，连接，交于点，由（1）可得，，得出，证明为的重心，得出，设，在和中，利用勾股定理列式求出，可得，即可求解．
（1）解：①略；
②∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点，
由（1）①中可得（图1），
又∵（①已证），
∴，
∴，
又∵（①已证），
∴，
∴，
∵为边的中点，为边的中点，
∴为的重心，
∴，
设，则，
∵在和中，，
∴，
化简得（负值舍），
∴，
∴．
31．(1)连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∵，垂足为E，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为P，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
(2)．
（1）连接，证明是等腰三角形，推出，即可证明是的切线；
（2）证明，得到，设的半径为，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，据此计算即可求解．
（1）证明：略
（2）解：∵是的直径，，垂足为P，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
32．(1)证明：如图1，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
(2)
(3)，证明如下：
如图2，连接，
∵O为的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，即．
（1）连接，根据题意证得，得，再由是的直径，，证得即可证得结论；
（2）首先证得，然后，证得，得，再由（1）知，设，则，由，得，再由，得，最后代入x值可求得的长；
（3）连接，首先证得是的中位线，得，进而得，然后由得，证得，再由得，得，进而得，最后由可证得结论．
（1）略
（2）解：∵O为的中点，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵点是线段的中点，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
由（1）知，
设，则，
∵，即，
∴，
∵，即，解得，
∴；
（3）略
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