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2025-2026学年上海市崇明区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果a＞b,那么下列不等式中不正确的是（　　）
A. a-2＞b-2 B. C. -3a＜-3b D. 1-3a＞1-3b
2.如果一个三角形的三个内角度数之比是1：1：2，那么这个三角形是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
3.下列命题是真命题的是（　　）
A. 同旁内角互补
B. 面积相等的两个三角形是全等三角形
C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
4.如图，下列能判断AB∥CD的条件是（　　）
A. ∠A+∠ABC=180° B. ∠2=∠5 C. ∠3=∠4 D. ∠1=∠C
5.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.如果∠1=30°，∠2=70°，那么∠3的度数为（　　）
A. 130°
B. 140°
C. 150°
D. 160°
6.如图，已知AP平分∠MAN，点B、C分别在射线AM、AN上，如果添加一个条件，即可推出AB=AC，那么下列条件不能得到AB=AC的是（　　）
A. BP=CP
B. BC⊥AP
C. ∠APB=∠APC
D. ∠ABP=∠ACP
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.用适当的不等式表示“m的3倍减去2的差是一个正数” .
8.如果既满足x≥a又满足x≤1的x的值只有一个，那么a= .
9.直线AC、BD相交于点O，如果∠BOC=130°，那么直线AC与直线BD的夹角为 度.
10.命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______．
11.如图，已知直线m∥n,将三角尺的直角顶点放在直线n上，若∠1=46°，则∠2= 度.
12.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），应该带第 块，就能配一块与原来一样大小的三角形.
13.已知△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，如果∠BAD=35°，那么∠C= 度.
14.已知等腰三角形的周长为16，如果其中一条边长为4，那么它的腰长为 .
15.如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO.如果∠A=34°，那么∠BOC= 度.
16.在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线l1、l2相交于点P，且l1∥l,则直线l2与直线l必相交”这一命题：他假设直线l2与直线l不相交，则有l2∥l,又因为l1∥l,所以l1与l2平行，这与 矛盾，故假设不成立，所以直线l2与直线l必相交.
17.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△ADE，使点B的对应点D落在边BC上，连接EC，如果∠EDC=α，那么∠AEC= .（用含α的代数式表示）
18.在数学综合与实践课《积木能叠多远？》的探究活动中，同学们探究了积木堆叠平衡问题，并根据相关预备知识进行了推导，请你回顾并解决以下问题：取4块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们四边对齐叠放，从上到下编号依次为①、②、③、④，向右沿平行于积木长边的方向依次推动积木①、②、③，如图所示，如果每块积木的长度为l,在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最远延伸长度是 .（用含l的代数式表示）
预备知识
1.一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下方长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数.
2.一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数.
3.两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下.
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
19.解不等式组：，并在数轴上表示出解集.
20.根据篮球赛的规则，在三分线外投篮命中可得3分，在三分线内投篮命中可得2分.某球队在一场篮球赛中不算罚篮共投中34个球，罚篮得14分，并且总分超过90分.该球队至少投中了多少个三分球？
四、解答题：本题共5小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
如图，已知：点F、B、D、E在同一直线上，AE=CF，DE=BF，∠E=∠F.求证：AB∥CD.
把以下证明过程补完整.
证明：∵DE=BF，
∴______+______=______+______，
∴BE=DF.
在△ABE与△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（______）.
∴∠______=∠______.
∴AB∥CD.（______）.
22.(本小题6分)
如图，已知△ABC，请根据下列要求作图并回答问题.
（1）点D在边BC上，请你用直尺和圆规在图中作出点D，使得AD+CD=BC；
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若∠B=25°，∠BAC=3∠BAD，求证：AB＞BC.
23.(本小题7分)
如图，已知：△ABC与△ADE都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，联结CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若CE⊥AD，求证：∠EDC=90°.
24.(本小题8分)
如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点F，CF=AB.
（1）求证：AE=EF；
（2）连接AF，过点F作FG∥BC，交AC边于点G，求证：AF=FG.
25.(本小题10分)
数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题.
【探究初步】
探究1 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D为AC边上的一点，若△ABD与△CBD为偏等积三角形，则CD=______.
（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=4，D为BC边上的一点，且满足△ABD与△ACD为偏等积三角形，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E，如果线段AD的长度为正整数，那么AE=______.
探究2 如图3，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.
（3）探究图3中线段CE、BC、DE之间的数量关系，可得______.
【迁移应用】
（4）如图4，已知△ADC与△BDE是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=90°，∠ADB＞∠CDE，过D作DM⊥AB，垂足为点M，MD的延长线与CE交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】3m-2＞0
8.【答案】1
9.【答案】50
10.【答案】周长相等的三角形是全等三角形
11.【答案】136
12.【答案】4
13.【答案】55
14.【答案】6
15.【答案】68
16.【答案】直线l1、l2相交
17.【答案】
18.【答案】l
19.【答案】-1≤x＜3；．
20.【答案】该球队至少投中9个三分球．
21.【答案】DE；BD；BF；BD；SAS；ABE；CDF；内错角相等，两直线平行．
22.【答案】所作图形如图：
由作图知：AB=AD，
∴∠B=∠BAD=25°，
∵∠BAC=3∠BAD，
∴∠BAC=75°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠C=80°，
∴∠C＞∠BAC，
∴AB＞BC
23.【答案】证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
证明：∵△ADE是等边三角形，
∴AE=ED，∠ADE=∠AED=60°，
∵CE⊥AD，
∴，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=30°，
∴∠ADE+∠ADB=90°，
即∠EDC=90°
24.【答案】∵△ABC的两条高BE、CD相交于点F，
∴BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，
∴∠AEB=∠FEC=∠ADC=90°，
∵∠ABE+∠BAC=90°，∠FCE+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=EF
连接AF，过点F作FG∥BC，交AC边于点G，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FAE=∠AFE=45°，
由（1）得△ABE≌△FCE，
∴BE=CE，
∵∠BEC=90°，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴∠FGA=∠BCE=45°，
∴∠FAE=∠FGA，
∴AF=FG
25.【答案】1
4
CE=DE+BC
△CDN与△EDN为偏等积三角形，△ADB与△CDE为偏等积三角形；证明：如图4，过E作EP⊥DN于点P，过C作CQ⊥DN交DN延长线于点Q．
∴∠EPN=∠EPD=∠CQN=90°，
∵DM⊥AB，
∴∠DMB=90°=∠EPD，
∴∠PDE+∠PED=90°；∵∠BDE=90°，
∴∠PDE+∠MDB=90°，
∴∠PED=∠MDB，
又∵DE=BD，
∴△PED≌△MDB（AAS），
∴PE=DM；同理可证明△QDC≌△MAD，
∴CQ=DM，
∴CQ=PE，
又∵∠QNC=∠PNE，∠CQN=∠EPN，
∴△EPN≌△CQN（AAS），
∴CN=NE．
∴S△CDN=S△EDN，
又∵△ADC与△BDE不全等，
∴DC≠DE，
∴△CDN与△EDN不全等，
∴△CDN与是偏等积三角形；如图5，过E作EG⊥CD于点G，过B作BF⊥AD交AD延长线于点F．
∴∠BFD=∠EGD=90°，
∵∠EDG+∠ADB+∠ADC+∠BDE=360°，∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠EDG+∠ADB=180°．
又∵∠BDF+∠ADB=180°，
∴∠EDG=∠BDF，
又∵DB=DE，
∴△BFD≌△EGD（AAS），
∴BF=EG．
∵，
∴S△ADB=S△CDE，
又∵∠ADB＞∠CDE，AD=CD，DB=DE，
∴△ADB与△CDE不全等，
∴△ADB与△CDE是偏等积三角形
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