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2025-2026学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数z=（　　）
A. B. C. D.
2.cos18°cos42°-sin18°cos48°的值为（　　）
A. B. C. D.
3.已知m,n是两条直线，α，β为两个平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若m⊥n,m⊥α，则n∥α
D. 若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
4.如图，在正六边形ABCDEF中，=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知点（b,0）（b＞0）是函数的图象的一个对称中心，则b的最小值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径等于球的半径，圆锥的侧面积等于球的表面积，则圆锥的体积与球的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
7.函数y=Asin（ωx+φ）+b的部分图象如图所示，则（　　）
A.
B.
C.
D.
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=1，，则△ABC的面积最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则（　　）
A.
B. 可以作为平面内所有向量的一个基底
C.
D. 向量在向量上的投影向量为
10.新会圭峰山是位于广东省江门市新会区的国家森林公园和国家AAAA级旅游景区，它以秀丽的自然风光、深厚的历史文化和丰富的生态资源著称，是集观光、休闲、健身于一体的城市绿肺.某校开展数学建模活动，建模小组的学生选择测量圭峰山的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为θ，沿倾斜角为α的斜坡向上走了m米到达点C（A，B，C，P在同一个平面内），在C处测得山顶P的仰角为β，则（　　）
A. ∠PCA=π+α-β B. sin∠PCA=sin（α-β）
C. D.
11.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且BE=BF=AB，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C重合于点A1，在翻折形成的三棱锥A1-DEF中，则（　　）
A. DA1⊥平面A1EF B. EA1⊥平面A1FD
C. 点A1到平面DEF的距离为 D. 三棱锥A1-DEF的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，则= .
13.已知，则tan2α= .
14.一棱长为2的正四面体木块如图所示，动点P在平面VAC内（含边界），过点P将木块锯开、使截面平行于直线VB和AC，则截面的面积最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，，向量与的夹角为.
（1）求；
（2）若与互相垂直，求证：.
16.(本小题15分)
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为DD1的中点，求证：
（1）BD1∥平面AEC；
（2）AC⊥BD1.
17.(本小题15分)
已知函数的最大值为2.
（1）求常数a的值及函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，若时，不等式m＜g（x）＜m+3恒成立，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=，点D，E分别是BC，AC的中点，AD，BE相交于点G，过点G作直线分别交线段AB和BC于点H，K.
（1）求线段BE的长；
（2）求∠DGE的余弦值；
（3）当点H不与A重合，点K不与C重合时，求四边形AHKC面积的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为等腰三角形，M为PD的中点，且PA=AD=2，∠PAD=.
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（i）求直线l与直线PC所成角的正弦值；
（ii）若Q为直线l上的动点，且满足（λ＞0），是否存在点Q使直线PC与平面QAB所成的角为？若存在，请求出满足条件的λ值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】
由与互相垂直，得，
而，，则，即，又都是非零向量，
所以
16.【答案】设AC与BD交于点O，接OE，
因为底面ABCD是菱形，
∴O为DB中点，
又因为E是DD1的中点，
∴OE∥D1B，
∵OE 面AEC，BD1 平面AEC，
∴BD1∥平面AEC
∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DD1⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
∴DD1⊥AC，且DB∩DD1=D，DB，DD1 平面BDB1D1．
∴AC⊥平面BDB1D1．
∵BD1 平面BDB1D1，
∴AC⊥BD1
17.【答案】a=-1，单调递减区间为
（-1，1）
18.【答案】

19.【答案】在四棱锥P-ABCD中，由正方形ABCD，得CD⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD 平面ABCD，
得CD⊥平面PAD，而AM 平面PAD，则AM⊥CD，由M为PD的中点，PA=AD，
得AM⊥PD，又PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，
所以AM⊥平面PCD
（ⅰ）；（ⅱ）存在，λ=1
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