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2025-2026学年广东省梅州市梅县区东山中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∪B=（　　）
A. （-∞，-2]∪（-1，+∞） B. （-∞，-2]∪[-1，3）
C. [2，3） D. （-1，2]
2.学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（　　）
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
3.若函数f（x）=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值，则a=（　　）
A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
4.某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示.根据此列联表中的数据可以求得χ2=，则m=（　　）
主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 36 14 50
学习兴趣一般 12 38 50
合计 48 52 100
参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
A. 240 B. 280 C. 300 D. 320
5.已知函数f（x）=3x-2x，x∈R，则下列结论错误的是（　　）
A. 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
B. 存在a∈R，使得函数为奇函数
C. 任意x∈R，f（x）＞-1
D. 函数g（x）=f（x）+x有且仅有2个零点
6.已知在某地区的某种群数量每年以x%的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（　　）（参考数据：lg2≈0.3）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
7.已知0＜a＜1＜b,则（　　）
A. ba＜ab＜aa＜bb B. ab＜aa＜ba＜bb C. bb＜ab＜aa＜ba D. ab＜ba＜aa＜bb
8.已知y=f（x）-3x是定义域为R的偶函数，f（x）的导函数f′（x）满足f′（2+x）=f′（2-x），则f′（2028）=（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　）
A. 若ab≤1，则 B. 若a+b=4，则的最小值为4
C. 若a2+b2=4，则ab的最大值为4 D. 若2a+b=1，则ab的最大值为
10.下列说法中，正确的有（　　）
A. 若随机变量，则D（9X-1）=20
B. 某校高三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%
C. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且P（X=0）＜P（X=1），则
D. 若事件A，B满足0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，且，则A与B相互独立
11.对f：D→R，g：D→R，若 k＞0，使得 x1，x2∈D都有|f（x1）-f（x2）|≤k|g（x1）-g（x2）|，则称f（x）在D上相对于g（x）满足“k-利普希兹”条件，下列说法正确的是（　　）
A. 若f（x）=log2x,g（x）=x,则f（x）在（0，+∞）上相对于g（x）不满足“2-利普希兹”条件
B. 若，g（x）=x,f（x）在[1，4]上相对于g（x）满足“k-利普希兹”条件，则k的最小值为
C. 若f（x）=ax,，f（x）在[2，3]上相对于g（x）满足“4-利普希兹”条件，则a的最大值为
D. 若f（x）=x,，f（x）在非空数集D上相对于g（x）满足“1-利普希兹”条件，则D （-∞，0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则函数f（x）的值域为 .
13.甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3.现分别从这两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上的数字之和，设X的期望为E（X），则E（3X+1）= .
14.折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm,宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是______cm.
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a∈R，已知函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-1.
（1）求实数a的值，并求该切线方程；
（2）求y=f（x）在区间[1，e]上的最值.
16.(本小题15分)
已知集合A={x|log2（x-1）＜1}，集合B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0}.
（1）若a=2，求A∪B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数据如下：
活动开展第x天 1 2 3 4 5
入园游客量y（百人） 53 64 71 79 83
（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；
（2）求经验回归方程以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）
（3）该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.
附：参考公式
相关系数；
回归直线方程，其中
参考数据：
18.(本小题17分)
已知定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1）.
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）设，证明：对任意x1、x2∈I都有g（x1x2）=g（x1）+g（x2）；
（3）当x＞1时，g（x）＜0，求不等式g（x-2）＞g（x）的解集.
19.(本小题15分)
在数列{an}中，已知a1=0，对任意的n∈N*，an+1的值取an+1或an-1的概率均为，记事件“”的概率为pk，{an}的前n项中0的个数为随机变量Xn.
（1）求p3，p5的值；
（2）求X5的分布列；
（3）记E（Xn）是Xn的数学期望，证明：.
附：对任意随机变量ξi（i=1，2，…，n），有.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】[0，1）
13.【答案】13．
14.【答案】
15.【答案】a=1，切线方程为y=-x+3 最大值为2，最小值为1+ln2
16.【答案】A∪B={x|1＜x≤3} （1，2）
17.【答案】相关系数r≈0.99，可以推断入园游客量y与活动开展第x天相关程度很强 =7.5x+47.5，1（百人）
18.【答案】（1）证明：因为函数f（x）的定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞），
对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1），
令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），故f（1）=0，
令x1=x2=-1，得f（1）=-2f（-1）=0，可得f（-1）=0，
令x1=x,x2=-1，得f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）证明：因为f（x1x2）=x1f（x2）+x2f（x1），且x1≠0，x2≠0，
所以，
即g(x1x2）=g(x1）+g(x2）；
（3）设x1＞x2＞0，则，
又因为当x＞1时，g（x）＜0，
所以，
因为，
所以g（x1）-g（x2）=g（）＜0，
即g（x1）＜g（x2），
所以g（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
因为函数g（x）的定义域为I=（-∞，0）∪（0，+∞），
，且f（x）为奇函数，
所以，
即函数g（x）是偶函数，
由g（x-2）＞g（x），可得g（|x-2|）＞g（|x|），
则，解得x＞1且x≠2，
因此不等式g（x-2）＞g（x）的解集为（1，2）∪（2，+∞）．
19.【答案】 分布列如下：
X5 1 2 3
P
设变量，i=1，2， ，k，则，
由期望可加性得：，
对任意n，，化简得：，
即，
整理得：①，
归纳证明E（X2k-1）=（2k-1）p2k-1：
若k=1，则E（X1）=p1=1=（2 1-1）p1，成立；假设k=m时E（X2m-1）=（2m-1）p2m-1成立，
则k=m+1时：
=，归纳成立；将E（X2k-1）=（2k-1）p2k-1代入式①，
得：，原等式得证
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