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15.3.1 等腰三角形（第2课时）
人教版 (2024) 八年级上册
第十五章 轴对称
探索并掌握等腰三角形的判定定理
能够利用等腰三角形的判定定理解决问题
学习目标
能用尺规作等腰三角形
知识回顾
通过上节课的学习，你对等腰三角形有了哪些新的认识？
A
B
C
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的两个底角相等 (“等边对等角”)．　
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
(“三线合一”)．　
等腰三角形是指有两条边相等的三角形.
探索新知
等腰三角形的判定
有两边相等的三角形是等腰三角形.
A
B
C
几何语言：
如图，在△ABC中，∵AB＝AC，
∴△ABC 为等腰三角形.
探索新知
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABC 中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
利用三角形
全等
分析：
∠B＝∠C
AB＝AC
作∠BAC 的平分线
A
B
C
D
作 BC 边上的高
A
B
C
D
作 BC 边上的中线
A
B
C
D
探索新知
方法一：作角平分线
已知：在△ABC 中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
D
C
A
B
2
1
（
（
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴AB＝AC.
∠1＝∠2，
∠B＝∠C，
AD＝AD，
证明：如图，过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
在△ABD 与 △ACD中，
探索新知
方法二：作高
已知：在△ABC 中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
证明：如图，作△ABC 底边 BC 上的高 AD．
D
B
C
A
在△ABD 和△ACD 中，
∠B＝∠C，
∠ADB＝∠ADC，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴AB＝AC.
探索新知
方法三：作中线
已知：在△ABC 中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
证明：如图，作△ABC 底边 BC 的中线 AD，则 BD＝CD．
在△DBE 和△DCF 中，
∠DEB＝∠DFC，
∠B＝∠C，
BD＝CD，
∴△DBE≌△DCF (AAS).
∴DE＝DF.
作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．
D
B
C
A
E
F
探索新知
方法三：作中线
已知：在△ABC 中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
在△BAD 和△CAD 中，
∠B＝∠C，
∠1＝∠2，
AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD (AAS).
∴AB＝AC.
D
B
C
A
E
F
又 DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠1＝∠2．
2
1
探索新知
等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”).
几何语言：
如图，在△ABC 中，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
A
B
C
注意：1.“等角对等边” 不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰相等. 因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“两腰” 这些名词.
2. 应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中.
典型例题
例 2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
A
B
C
D
E
1
2
题设：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边.
结论：那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
分析：要证明 AB＝AC,可先证明∠B＝∠C.
因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B,∠C 与∠1，∠2 的关系.
典型例题
例 2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．
又 AD 平分 ∠CAE，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC (等角对等边)．
A
B
C
D
E
1
2
典型例题
例 3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h，求作这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.
由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
a
h
典型例题
例 3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h，求作这个等腰三角形.
作法：如图 .
(1) 作线段 AB＝a；
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D；
(3) 在 MN 上取一点 C，使 DC＝h；
(4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
A B
M
N
D
C
当堂检测
当堂检测
B
D
当堂检测
D
当堂检测
A
当堂检测
A
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1. 判定
2. 尺规作图—已知底边及底边上的高作等腰三角形.
定义法 —有两边相等的三角形是等腰三角形；
判定定理法—等角对等边；

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