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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
第2课时 解分式方程
基础提质
知识点 分式方程的解法
1.将分式方程 去分母后得到的整式方程为 （ ）
2.关于x的方程 有增根，则m的值是 （ ）
A. 0 B. 5 C. 3 D.3或5
3.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
4.分式方程 的解为____________.
5.已知是方程 的解，则a的值是__________.
6.当x=_________时，分式 与分式 互为相反数.
7.解分式方程.
(1) (2)
(3)
8.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一道解方程的题目中的一个数看不清楚： 小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程的增根是x=2，分式方程无解.”则原分式方程中“？”代表的数是多少？
能力提升
9.如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的取值情况是（ ）
10.关于x的方程 ，下列说法正确的是 （ ）
A.方程的解为 B.方程的解不能为0
C.当时，方程的解为负数 D.当时，方程的解为正数
11.若关于 x 的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值之和为_____________.
12.阅读下面材料，解答问题.
解方程：
解：设 ，则原方程可化为 ，方程两边同时乘y，得 ，解得y=±2.经检验，2和-2都是方程 的解.当y=2时， =2,解得x=-1;当y=-2时， ，解得x= .经检验,x=-1和 都是原分式方程的解.∴原分式方程的解为-1, .上述这种解分式方程的方法称为换元法.
(1)若在方程 中，设 ，则原方程可化为___________.
(2)若在方程 中，设 ，则原方程可化为__________.
(3)模仿上述换元法解方程：
素养提优
13.新定义：如果关于x的分式方程 的解是 ，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b]称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”.例如:a=2,b=-5时，关于x的分式方程 的解是 ， ，所以数对[2，-5]是关于x的分式方程 的一个“关联数对”.
(1)下列数对是关于x的分式方程 的“关联数对”的是________.（填字母）
A.[3,-5] B.[1,-2]
(2)若数对 是关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，求n的值.
(3)若数对 且m≠0,k≠-1)是关于x的分式方程 的“关联数对”，且关于x的方程 有整数解，求整数m的值.
参考答案
基础提质
1. A 方程 两边同乘x(x+1),得x+1=2x.故选A.
,
去分母得2x-1-(x-3)=m,解得x=m-2,
∵关于x的方程 有增根，
∴x-3=0,解得x=3,∴m-2=3,∴m=5,故选B.
技巧归纳 分式方程有增根时，增根为使分母为零的未知数的值.
3. C 分式方程去分母得m-6=x-1,解得x=m-5,
由分式方程的解是非负数，得到m-5≥0，且m-5≠1,解得m≥5且m≠6,故选C.
4.答案 x=3 解析 ，
方程可化为 ，
方程两边同乘((x+1)(x-1),得x+1=4,
解得x=3,
检验：当x=3时,(x+1)(x-1)≠0,
所以分式方程的解是x=3，故答案为x=3.
5.答案 -1
解析 将x=2代入方程，得 ，去分母，得1-2a=2-a,解得a=-1.经检验，,a=-1是分式方程 的解.故答案为-1.
6.答案 9
解析 根据题意得 ，解得x=9,经检验，x=9是方程的解.
7.解析 (1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0,
去括号，得3x-3-x-1=0,解得x=2,
检验：当x=2时,(x+1)(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=2.
(2)方程两边同乘2x-1,得x-2-2x+1=-1,
解得x=0,
检验：当x=0时,2x-1≠0,
∴原分式方程的解为x=0.
(3)方程两边同乘2(x+1),得2x+2(x+1)=5,
去括号，得2x+2x+2=5,
解得
检验：当 时,2(x+1)≠0.
∴原分式方程的解为
(4)方程两边同乘(x+2)(x-2),
得x-2+4x=2(x+2),
去括号，得x-2+4x=2x+4,解得x=2.
检验：当x=2时,(x+2)(x-2)=0.
∴原分式方程无解.
8.解析 设“？”代表的数为m，则分式方程为 去分母，得m+3(x-2)=-1,
把x=2代入，得m+3×(2-2)=-1,∴m=-1.
∴原分式方程中“？”代表的数是-1.
能力提升
,
方程去分母，得mx-x=2(1-x),
整理，得(m+1)x=2,
∵原方程无解，
∴分两种情况：
①若整式方程无解，则m+1=0,解得m=-1;
②若分式方程有增根，则x-1=0,解得x=1.
把x=1代入整式方程得m+1=2,解得m=1.
综上,m=1或m=-1.故选C.
题型解读 分式方程无解的情况有两种：(1)原分式方程存在增根；(2)原方程去分母后，整式方程无解.
10. C ∵2x+a =1,∴x=-1-a,
A.当a=-2时,x=-1+2=1,此时x-1=0,方程无解，故A错误；
B.当a=-1时,x=0,∴方程的解可以为0,故B错误；
C.当a>-1时,x=-1-a<0,且满足a≠-2,故C正确；
D.当a<-1且a≠-2时，方程的解为正数，故D错误.故选C.
11.答案 16
解析 将不等式组 整理得
∴该不等式组的解集为 ∵关于x的不等式组至少有2个整数解， ，解得a≤8.
解分式方程 ，得 ，
∵分式方程的解为非负整数，
,且a为偶数,∴a≥2,且a为偶数，
∵y≠1,即 ,∴a≠4,
∴符合条件的a的值为2,6,8,
∴满足条件的所有整数a的值之和为2+6+8=16.
12.解析 (1)
(2)
(3)原方程化为 ，
设 ，则原方程化为 ，
方程两边同时乘y得 ，
解得y=±1,
经检验y=±1都是方程 的解.
当y=1时， ，该方程无解；
当y=-1时 ，解得
经检验， 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为
素养提优
13.解析 (1)当a=3,b=-5时，分式方程为 ，解得 ，
,
∴数对[3，-5]是关于x的分式方程 的“关联数对”.
当a=1,b=-2时，分式方程为 ，解得x= ,
,
∴数对[1，-2]不是关于x的分式方程 的“关联数对”.故答案为A.
(2)∵数对 是关于x的分式方程 b的“关联数对”，
∴a=-n, ,
∴方程为 ，
,
,解得n=3.
(3)∵数对[2m+k,-k]是关于x的分式方程 的“关联数对”，
∴a=2m+k,b=-k,
,
∵k≠-1,m≠0,
,
,
,
当 时，解得 ，
将 代入 ，
整理，得 ，
已知 ，解上述方程得 ，
∵关于x的方程 有整数解，且m为整数，
∴2m-1=±1或±2,即2m-1=-1或2m-1=1或2m-1=-2或2m-1=2,
解得m=0（舍去）或m=1或 舍去)或 （舍去），
∴m=1.

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